Funkcja dzeta Riemanna ma postać ζ(s) = 1 + 1/2ˢ + 1/3ˢ + 1/4ˢ + ⋯ Euler badał jej wersję rzeczywistą i odkrył, że ζ(2) = π²/6 (problem bazylejski), a także wzór iloczynowy ζ(s) = ∏ 1/(1-p⁻ˢ) po wszystkich liczbach pierwszych. Riemann rozszerzył tę funkcję na liczby zespolone w swojej przełomowej pracy z 1859 roku.
Tabela wartości funkcji dzeta dla wybranych liczb całkowitych
| s | ζ(s) | postać dokładna |
|---|---|---|
| 2 | 1,64493… | π²/6 |
| 3 | 1,20206… | nieznana, Apéry |
| 4 | 1,08232… | π⁴/90 |
| 6 | 1,01734… | π⁶/945 |
| -2,-4,… | 0 | zera trywialne |
Kluczowy wgląd Riemanna polegał na rozszerzeniu funkcji ζ(s) na zespolone s. Nietrywialne zera (czyli miejsca, gdzie ζ(s)=0 i 0 < Re(s) < 1) sterują rozkładem liczb pierwszych. Każde zero wnosi oscylację do funkcji liczącej liczby pierwsze. W 1859 roku Riemann postawił hipotezę, że wszystkie zera nietrywialne leżą na prostej Re(s)=1/2. To właśnie hipoteza Riemanna.
Zweryfikowano już ponad 10 bilionów zer nietrywialnych i wszystkie leżą na prostej Re(s)=1/2. Nie znaleziono żadnego kontrprzykładu. Clay Mathematics Institute oferuje milion dolarów za dowód lub obalenie tej hipotezy. Dowód dałby najostrzejsze możliwe oszacowania błędu w rozkładzie liczb pierwszych. Hipoteza Riemanna pozostaje nieudowodniona od 165 lat.
Funkcja dzeta Riemanna spełnia symetrię: zeta(s) = 2^s * pi^(s-1) * sin(pi*s/2) * Gamma(1-s) * zeta(1-s). Rozszerza to funkcję dzeta na wszystkie liczby zespolone s (z wyjątkiem s = 1) i wiąże wartość w punkcie s z wartością w punkcie 1-s. Pokazuje też, że zera nietrywialne występują parami: jeśli s jest zerem, to 1-s również. Zera trywialne przy s = -2, -4, -6, ... wynikają z czynnika sin(pi*s/2).
Funkcja dzeta Riemanna ma postać zeta(s) = 1 + 1/2^s + 1/3^s + ... Euler obliczył ją dla parzystych liczb całkowitych: zeta(2) = pi^2/6, zeta(4) = pi^4/90. Riemann rozszerzył ją na zespolone s w 1859 roku i wysunął hipotezę, że wszystkie zera nietrywialne leżą na prostej Re(s) = 1/2. Ta hipoteza Riemanna po 165 latach nadal nie jest udowodniona i należy do problemów milenijnych Clay Mathematics Institute z nagrodą miliona dolarów. Zweryfikowano już ponad 10 bilionów zer na prostej krytycznej. Zera te sterują rozkładem liczb pierwszych: każde wnosi oscylację do funkcji liczącej liczby pierwsze.