Przybliżenie Stirlinga mówi, że dla dużych n mamy n! ≈ √(2πn) · (n/e)ⁿ. Pojawienie się jednocześnie π i e we wzorze dotyczącym liczenia permutacji jest uderzające. Dla n = 10 błąd jest mniejszy niż 1%. Dla n = 100 jest mniejszy niż 0,1%. Wraz ze wzrostem n wzór staje się coraz dokładniejszy.
Błąd względny |n! − Stirling(n)| / n! spada poniżej 1% przy n = 8 i poniżej 0,1% przy n = 80.
Abraham de Moivre odkrył w 1730 roku, że n! ≈ C·√n·(n/e)ⁿ dla pewnej stałej C. W tym samym roku James Stirling ustalił, że C = √(2π). Czynnik √(2π) pochodzi z całki Gaussa: przy wyprowadzaniu wzoru Stirlinga za pomocą funkcji Gamma pojawia się całka ∫e^(-t²)dt = √π, która wprowadza π do wzoru.
Postać logarytmiczna jest używana w całej fizyce: w mechanice statystycznej wzór Boltzmanna na entropię S = k·ln(W) wymaga obliczania ln(N!) dla ogromnych N (molów cząstek). Stirling daje przybliżenie ln(N!) ≈ N·ln(N) - N, dzięki czemu rachunek staje się wykonalny. Pełny szereg asymptotyczny dodaje poprawki: n! = √(2πn)(n/e)ⁿ · exp(1/(12n) - 1/(360n³) + ⋯)
W skali logarytmicznej wartości n! i przybliżenia Stirlinga są niemal nie do odróżnienia. Błąd względny pozostaje niewielki nawet dla umiarkowanych n.