Szereg harmoniczny jest sumą wszystkich ułamków jednostkowych. Każdy wyraz 1/n dąży do zera, co mogłoby sugerować zbieżność sumy, ale tak nie jest. Dowód wykorzystuje grupowanie: 1/3+1/4 > 1/2, następnie 1/5+1/6+1/7+1/8 > 1/2, a każda kolejna taka grupa dodaje co najmniej 1/2, więc suma przekroczy każdą granicę. Mimo to szereg rozbiega się niezwykle powoli: aby suma częściowa osiągnęła 100, potrzeba więcej wyrazów niż atomów w obserwowalnym wszechświecie.
H(n) i ln(n) rosną razem, różniąc się w przybliżeniu o γ ≈ 0,5772. Obie funkcje rosną bez ograniczeń: aby osiągnąć H(n) = 100, potrzeba około 10^43 wyrazów.
Do osiągnięcia H(n)=100 potrzeba około 10^43 wyrazów — więcej niż atomów w obserwowalnym wszechświecie.
Szereg harmoniczny 1 + 1/2 + 1/3 + ... jest rozbieżny, co udowodnił Nicole Oresme około 1350 roku. Mimo że każdy wyraz dąży do zera, suma przekracza każdą granicę. Sumy częściowe rosną jak ln(n) + gamma, gdzie gamma ≈ 0,5772 to stała Eulera-Mascheroniego. Po milionie wyrazów suma wynosi zaledwie około 14. Aby osiągnąć 100, potrzeba ponad 10^43 wyrazów. Szereg naprzemienny 1 - 1/2 + 1/3 - ... jest już zbieżny i daje ln 2.