τ (tau) jest równe 2π ≈ 6,28318. Jego definicja jest prosta: pełny obrót po okręgu to dokładnie τ radianów. Pół obrotu to τ/2 = π radianów. Ćwierć obrotu to τ/4. Dla osób, którym taki opis wydaje się bardziej naturalny niż używanie π, naturalną stałą okręgu staje się właśnie τ.
Pełny obrót to τ radianów. τ/4 = 90°. τ/2 = 180° = π radianów. Obwód okręgu o promieniu r wynosi τr.
Argument za τ jest taki, że wzór na obwód przyjmuje postać C = τr (obwód = tau × promień), a dowolna część obrotu jest po prostu taką samą częścią τ. sin(τ) = 0, cos(τ) = 1, czyli wracamy do punktu startu. Tożsamość Eulera zapisana przez τ ma postać e^(iτ) = 1, czyli pełen obrót. Argument przeciw: π jest obecne w podręcznikach i wzorach od stuleci.
Porównanie wzorów zapisanych z użyciem tau i pi
| Wzór | z π | z τ |
|---|---|---|
| Obwód | 2πr | τr |
| Pole koła | πr² | τr²/2 |
| Pełny obrót | 2π rad | τ rad |
| Tożsamość Eulera | eⁱπ+1=0 | eⁱτ=1 |
| Całka Gaussa | √(2π) | √τ |
τ = 2π jest liczbą transcendentalną (bo π jest transcendentalne). Czy jest lepszą stałą okręgu, to kwestia gustu i dydaktyki, a nie samej matematyki. Tau Manifesto Michaela Hartla z 2010 roku sformułowało ten argument wprost. τ do 20 cyfr: 6.28318530717958647692…
Przy użyciu π ćwierć obrotu to π/2, czyli połowa stałej pełnego obrotu. Przy użyciu τ ćwierć obrotu to po prostu τ/4, a pół obrotu to τ/2.
Tau jest dokładnie dwa razy większe od pi, czyli około 6.28318530717958647692. Jest liczbą niewymierną i transcendentalną. Jeden pełny obrót to τ radianów, dlatego część matematyków uważa τ za bardziej naturalną stałą okręgu niż π. Ideę tę zaproponował Bob Palais w 2001 roku, a spopularyzował Michael Hartl w Tau Manifeście. Dzień Tau obchodzi się 28 czerwca (6.28). Tożsamość Eulera zapisana za pomocą τ brzmi e^(iτ) = 1: pełny obrót płaszczyzny zespolonej wraca do punktu wyjścia.
Tau τ is irrational. Its decimal expansion never ends and never repeats. Every digit shown below is computed from the circle definition.