Szereg Taylora przedstawia gładką funkcję jako nieskończony wielomian. Każdy współczynnik jest pochodną: n-ty wyraz to f⁽ⁿ⁾(a)/n! pomnożone przez (x-a)ⁿ. Dla dobrze zachowujących się funkcji, takich jak eˣ, sin(x) i cos(x), szereg zbiega do dokładnej wartości funkcji w całej dziedzinie.
Każdy dodatkowy wyraz rozszerza zakres, w którym przybliżenie jest dobre. Dodając kolejne wyrazy, otrzymujemy sin(x) ≈ x − x³/6 + x⁵/120 − x⁷/5040 + …
Trzy najważniejsze szeregi Maclaurina to: eˣ = 1 + x + x²/2! + x³/3! + ⋯ (zbiega wszędzie); sin(x) = x - x³/3! + x⁵/5! - ⋯ (zbiega wszędzie); cos(x) = 1 - x²/2! + x⁴/4! - ⋯ (zbiega wszędzie). Podstawienie x = iπ do szeregu eˣ prowadzi do tożsamości Eulera.
Tabela podstawowych szeregów Maclaurina
| f(x) | szereg | promień |
|---|---|---|
| eˣ | 1+x+x²/2!+x³/3!+⋯ | ∞ |
| sin x | x-x³/3!+x⁵/5!-⋯ | ∞ |
| cos x | 1-x²/2!+x⁴/4!-⋯ | ∞ |
| ln(1+x) | x-x²/2+x³/3-⋯ | |x|≤1 |
| 1/(1-x) | 1+x+x²+x³+⋯ | |x|<1 |
Brook Taylor sformułował ogólne twierdzenie w 1715 roku, a szczególny przypadek z centrum w 0 spopularyzował Colin Maclaurin w 1742 roku. Każdy kalkulator i komputer używa szeregów Taylora do obliczania funkcji transcendentalnych. Błąd po n wyrazach ogranicza reszta Lagrange’a: |f(x) - Pₙ(x)| ≤ max|f⁽ⁿ⁺¹⁾| · |x-a|ⁿ⁺¹ / (n+1)!
cos(x) ≈ 1 − x²/2 + x⁴/24 − x⁶/720 + … Każdy kolejny wyraz podnosi rząd dokładności przybliżenia.
Szereg Taylora przedstawia gładką funkcję jako nieskończony wielomian: f(x) = f(a) + f'(a)(x-a) + f''(a)(x-a)^2/2! + ... Współczynniki są pochodnymi w punkcie środkowym a. Szeregi Maclaurina są centrowane w 0. Trzy podstawowe szeregi zbieżne wszędzie to: e^x = 1 + x + x^2/2! + ..., sin(x) = x - x^3/3! + x^5/5! - ..., cos(x) = 1 - x^2/2! + x^4/4! - ... Podstawienie x = i*pi do szeregu e^x daje dowód tożsamości Eulera. Każdy kalkulator używa wewnętrznie szeregów Taylora do obliczania funkcji transcendentalnych.