Każda liczba rzeczywista ma rozwinięcie w ułamek łańcuchowy: x = a₀ + 1/(a₁ + 1/(a₂ + ⋯)). Liczby całkowite a₁, a₂, a₃, … nazywa się ilorazami częściowymi. Dla π są to 3; 7, 15, 1, 292, 1, 1, 1, 2… Dla √2 mamy 1; 2, 2, 2, 2, 2… (okresowo, same dwójki). Chinczyn udowodnił w 1934 roku, że dla prawie każdej liczby rzeczywistej średnia geometryczna ilorazów częściowych dąży do tej samej stałej K₀ ≈ 2,68545.
P(k) = log₂(1 + 1/k(k+2)). Iloraz częściowy 1 pojawia się w około 41% rozwinięć ułamków łańcuchowych losowych liczb rzeczywistych.
Wzór na K₀ ma postać K₀ = ∏(k=1 do ∞) (1 + 1/(k(k+2)))^(log₂(k)) i zbiega bardzo powoli. Twierdzenie Chinczyna jest przykładem wyniku prawdziwego dla „prawie każdej” liczby, a zarazem niemożliwego do sprawdzenia dla konkretnej znanej stałej. Nie potrafimy wskazać pojedynczej słynnej liczby, o której wiemy na pewno, że spełnia to twierdzenie.
Już dla k=3 uwzględnione jest ponad dwie trzecie wszystkich ilorazów częściowych. Zbieżność do 1 jest powolna.
Fakt, że cyfra 1 dominuje (około 41,5%), wyjaśnia, dlaczego K₀ ≈ 2,685 jest mniejsze od 3: małe wartości obniżają średnią geometryczną. Gdyby wszystkie cyfry od 1 do 9 były równie prawdopodobne, średnia geometryczna wynosiłaby (1·2·3⋯9)^(1/9) = 9!^(1/9) ≈ 4,15. Silne uprzywilejowanie jedynek sprawia, że K₀ jest znacznie mniejsze.
Stała Chinczyna K0 ≈ 2,68545 jest uniwersalną granicą: dla prawie każdej liczby rzeczywistej x = [a0; a1, a2, ...] średnia geometryczna ilorazów częściowych (a1*a2*...*an)^(1/n) dąży do K0. Chinczyn udowodnił to w 1934 roku. Najbardziej uderzająca jest właśnie uniwersalność: prawie każda liczba ma tę samą średnią geometryczną, a jednak nie umiemy zweryfikować tego dla żadnej konkretnej słynnej stałej, takiej jak pi czy e. Nie wiadomo, czy K0 jest liczbą algebraiczną, czy transcendentalną.