√2 jest długością przekątnej kwadratu jednostkowego. Jeśli położysz na stole kwadrat o boku długości 1, odległość od jednego wierzchołka do przeciwległego wynosi dokładnie √2. To bezpośrednie zastosowanie twierdzenia Pitagorasa: 1² + 1² = (√2)².
Pitagorejczycy odkryli około 500 r. p.n.e., że √2 nie da się zapisać jako ułamek p/q, gdzie p i q są liczbami całkowitymi. Dowód nie wprost jest elegancki: załóżmy, że √2 = p/q w postaci nieskracalnej. Wtedy 2q² = p², więc p² jest parzyste, a zatem p jest parzyste; piszemy p = 2k. Wówczas 2q² = 4k², więc q² = 2k², a więc q także jest parzyste. To przeczy założeniu, że p/q było nieskracalne. Zatem √2 jest niewymierne.
Kolejne zbieżności z rozwinięcia w ułamek łańcuchowy [1; 2, 2, 2, …]. Każdy ułamek jest najlepszym przybliżeniem wymiernym przy danym mianowniku.
Kolejne zbieżności pierwiastka z 2 z jego ułamka łańcuchowego
| Ułamek | Liczba dziesiętna | Błąd |
|---|---|---|
| 1/1 | 1,000 | 0,41421 |
| 3/2 | 1,500 | 0,08579 |
| 7/5 | 1,400 | 0,01421 |
| 17/12 | 1,41667 | 0,00246 |
| 99/70 | 1,41429 | 0,0000849 |
√2 jest liczbą algebraiczną (spełnia równanie x² = 2), ale niewymierną. W trygonometrii mamy sin(45°) = cos(45°) = 1/√2. Formaty papieru serii A (A4, A3, A2…) używają proporcji 1:√2, tak aby po złożeniu kartki na pół zachować ten sam kształt. Wartość obliczona z pełną dokładnością zaczyna się od 1.41421356237309504880168872…
Każdy trójkąt prostokątny ma jedną przyprostokątną równą poprzedniej przeciwprostokątnej i drugą przyprostokątną równą 1. Długości kolejnych przeciwprostokątnych to √2, √3, √4, √5, …
Pierwiastek z 2 wynosi w przybliżeniu 1.41421356237309504880. Był to pierwszy w historii przykład liczby, której niewymierność udowodniono — zrobili to starożytni Grecy około 500 r. p.n.e. Jest liczbą algebraiczną, ponieważ spełnia równanie x² = 2. Pojawia się jako długość przekątnej kwadratu jednostkowego, w stroju równomiernie temperowanym (każdy półton mnoży częstotliwość przez dwunasty pierwiastek z 2), w wymiarach papieru serii A oraz w twierdzeniu Pitagorasa, gdy obie przyprostokątne są równe.
Square Root of 2 is irrational. Its decimal expansion never ends and never repeats. Every digit shown below is computed from the continued fraction.