Funkcja e^(−x²) ma kształt krzywej dzwonowej: osiąga wartość 1 dla x = 0 i symetrycznie opada do 0 w obie strony. Pole pod nią na całej osi rzeczywistej wynosi dokładnie √π ≈ 1,7724. To niezwykłe: e i π, zwykle spotykane w zupełnie innych kontekstach, spotykają się w najprostszym całkowaniu teorii prawdopodobieństwa.
Całka z e^(−x²) po wszystkich x jest równa √π ≈ 1,7725. To właśnie całka Gaussa. Po odpowiednim znormalizowaniu daje krzywą standardowego rozkładu normalnego.
Dowód jest jednym z najbardziej eleganckich trików w matematyce. Niech I = ∫e^(−x²)dx. Oblicz I², zapisując je jako całkę podwójną po x i y, a następnie przejdź do współrzędnych biegunowych r, θ. Całkowana funkcja staje się e^(−r²), a element pola to r·dr·dθ. Czynnik r sprawia, że całka staje się elementarna: ∫₀^∞ re^(−r²)dr = 1/2. Mnożąc przez ∫₀^(2π) dθ = 2π, dostajemy I² = π, więc I = √π.
Rozkład normalny, centralne twierdzenie graniczne, funkcje falowe w mechanice kwantowej (wykorzystujące pakiety falowe Gaussa) oraz przybliżenie Stirlinga dla silni opierają się na tej jednej całce. Wartość √π pojawia się wszędzie tam, gdzie całkuje się e^(−x²), a to dzieje się zaskakująco często w ciągłej teorii prawdopodobieństwa.
Całka Gaussa ma postać: całka od -nieskończoności do +nieskończoności z e^(-x^2) dx = sqrt(pi). Elegancki dowód polega na podniesieniu całki do kwadratu, przejściu do współrzędnych biegunowych i obliczeniu jej dokładnie. To kluczowe obliczenie stojące za rozkładem normalnym: gęstość prawdopodobieństwa (1/sqrt(2*pi))*e^(-x^2/2) całkuje się do 1. Funkcja Gaussa pojawia się w mechanice kwantowej, dyfuzji ciepła, przybliżeniu Stirlinga i centralnym twierdzeniu granicznym.