Matematyka zbudowała pięć głównych systemów liczbowych, z których każdy jest rozszerzeniem poprzedniego. Każde rozszerzenie zostało wymuszone przez równanie bez rozwiązania: „ile to 3-5?” prowadzi do liczb całkowitych; „ile to 1/3?” do liczb wymiernych; „ile to √2?” do liczb rzeczywistych; „ile to √(-1)?” do liczb zespolonych.
Tabela pokazująca, jakie własności zyskujemy, a jakie zmieniamy przy rozszerzaniu systemów liczbowych.
| SYSTEM | ZYSK | UTRATA LUB ZMIANA |
|---|---|---|
| N, liczby naturalne | liczenie, +, × | brak odejmowania |
| Z, liczby całkowite | odejmowanie, liczby ujemne | brak dzielenia |
| Q, liczby wymierne | dzielenie, ułamki | brak √2 |
| R, liczby rzeczywiste | wszystkie granice, √2, π | brak √(-1) |
| C, liczby zespolone | wszystkie pierwiastki wielomianów | domknięcie algebraiczne |
| H, kwaterniony | obroty w przestrzeni 3D | ab nie równa się ba |
| Każde rozszerzenie jest rzeczywistym powiększeniem, a nie tylko zmianą nazwy |
Niebieski: liczby naturalne ℕ. Zielony dodaje 0. Fioletowy rozszerza do ujemnych liczb całkowitych ℤ. Pomarańczowy dodaje ułamki ℚ. Czerwony: liczby niewymierne wypełniają resztę ℝ.
Matematyka posługuje się pięcioma głównymi systemami liczbowymi: liczbami naturalnymi N (liczenie, bez zera w klasycznej wersji), liczbami całkowitymi Z (dodające liczby ujemne), liczbami wymiernymi Q (dodające ułamki), liczbami rzeczywistymi R (dodające liczby niewymierne, takie jak √2 i π) oraz liczbami zespolonymi C (dodającymi i = √(-1)). Każde rozszerzenie odpowiadało równaniu nierozwiązywalnemu w poprzednim systemie. Ciąg N ⊂ Z ⊂ Q ⊂ R ⊂ C opisuje jedną z najważniejszych hierarchii w całej matematyce.