Ułamek łańcuchowy przedstawia liczbę jako liczbę całkowitą plus odwrotność kolejnego ułamka łańcuchowego. Każda liczba rzeczywista ma jednoznaczne rozwinięcie w ułamek łańcuchowy. Liczby wymierne kończą się, niewymierności kwadratowe są okresowe, a liczby transcendentalne, takie jak pi, nie wykazują prostego wzoru. Zbieżniki, czyli przybliżenia wymierne otrzymywane przez obcinanie rozwinięcia, są dowodnie najlepszymi przybliżeniami dla danego rozmiaru mianownika.
Tabela porównująca ułamki łańcuchowe phi, sqrt2, e i pi oraz pokazująca, które są okresowe, a które nieregularne.
| STAŁA | ZAPIS UŁAŃCUCHOWY | TYP |
|---|---|---|
| phi | [1; 1, 1, 1, 1, ...] | okresowy |
| sqrt(2) | [1; 2, 2, 2, 2, ...] | okresowy |
| sqrt(3) | [1; 1, 2, 1, 2, ...] | okresowy |
| e | [2; 1, 2, 1, 1, 4, 1, 1, 6...] | wzór |
| pi | [3; 7, 15, 1, 292, 1, ...] | brak prostego wzoru |
| Twierdzenie: ułamek łańcuchowy jest okresowy wtedy i tylko wtedy, gdy liczba jest niewymiernością kwadratową (Lagrange, 1770) | ||
| phi jest najtrudniejsze do przybliżenia: jego ułamek łańcuchowy z samych jedynek daje najwolniejszą możliwą zbieżność |
Tabela zbieżników pi pokazująca coraz dokładniejsze przybliżenia wymierne przy niewielkich mianownikach.
| ZBIEŻNIK | DZIESIĘTNIE | BŁĄD |
|---|---|---|
| 3/1 | 3,000000 | 0,14159 |
| 22/7 | 3,142857 | 0,00126 |
| 333/106 | 3,141509 | 0,000083 |
| 355/113 | 3,141592… | 0,0000003 |
| 103993/33102 | 3,14159265… | 2,7e−10 |
| 355/113 daje poprawność do 6 miejsc po przecinku przy mianowniku zaledwie trzycyfrowym |
Zbieżniki 3, 22/7, 333/106, 355/113, 103993/33102 leżą na przemian powyżej i poniżej π. Każdy jest najlepszym przybliżeniem wymiernym z takim mianownikiem lub mniejszym.
Każda liczba rzeczywista ma jednoznaczne rozwinięcie w ułamek łańcuchowy. Liczby wymierne mają rozwinięcia skończone. Niewymierności kwadratowe (takie jak sqrt(2) i phi) mają rozwinięcia okresowe od pewnego miejsca. Liczby transcendentalne, takie jak pi, nie wykazują prostego wzoru. Zbieżniki ułamka łańcuchowego są najlepszymi przybliżeniami wymiernymi: 22/7 i 355/113 są zbieżnikami pi, trafiając odpowiednio do 2 i 6 miejsc po przecinku. Phi = [1; 1, 1, 1, ...] jest najtrudniejszą liczbą do przybliżania, a więc w ścisłym sensie najbardziej niewymierną.