Twierdzenie de Moivre'a mówi, że podniesienie punktu na okręgu jednostkowym do n-tej potęgi po prostu mnoży jego kąt przez n. Jeśli zaczynasz od kąta θ i wykonujesz tę operację n razy, kończysz przy kącie nθ. To geometryczne serce arytmetyki liczb zespolonych.
Startujemy od kąta θ=40° na okręgu jednostkowym. Podniesienie do kwadratu podwaja kąt do 80° (zielony). Podniesienie do sześcianu potraja go do 120° (czerwony). Punkt tylko się obraca: jego odległość od zera pozostaje równa 1.
Twierdzenie wynika natychmiast ze wzoru Eulera e^(iθ) = cosθ + i sinθ. Podnosząc obie strony do potęgi n, dostajemy: (e^(iθ))ⁿ = e^(inθ) = cos(nθ) + i sin(nθ). De Moivre podał swój wynik w 1707 roku, 41 lat zanim Euler opublikował swój wzór, dlatego dowód sprawia wrażenie magii bardziej niż mechaniki.
Szóste pierwiastki jedności tworzą regularny sześciokąt na okręgu jednostkowym. n-te pierwiastki równania z^n = 1 zawsze tworzą regularny n-kąt, rozmieszczony równomiernie pod kątami 2πk/n = τk/n.
Twierdzenie de Moivre'a jest podstawowym narzędziem do obliczania potęg i pierwiastków liczb zespolonych, wyprowadzania wzorów wielokrotnego kąta (cos 3θ = 4cos³θ - 3cosθ) oraz znajdowania n równo rozłożonych n-tych pierwiastków dowolnej liczby zespolonej. Łączy algebrę liczb zespolonych z geometrią obrotu.
Gdy mnożysz dwie liczby zespolone, ich kąty (argumenty) dodają się, a ich moduły mnożą. Jeśli obie liczby leżą na okręgu jednostkowym (moduł 1), zmieniają się tylko kąty. Mnożenie n razy dodaje kąt n razy: właśnie to mówi twierdzenie de Moivre'a.
Twierdzenie de Moivre'a pokazuje, że cos(n*theta) zawsze można zapisać jako wielomian w cos(theta). To właśnie wielomiany Czebyszewa T_n: T_n(cos theta) = cos(n*theta). Na przykład cos(2*theta) = 2*cos^2(theta) - 1, więc T_2(x) = 2x^2 - 1. Pojawiają się w analizie numerycznej, projektowaniu filtrów i teorii aproksymacji.