Gelfonds Konstante ist e hoch π. Ihr Näherungswert ist 23,14069263277927… Zu zeigen, dass sie transzendent ist, war Hilberts 7. Problem, das er 1900 als eines der 23 wichtigsten ungelösten Probleme des 20. Jahrhunderts formulierte. Alexander Gelfond löste es 1934.
e^π liegt verlockend nahe bei 23, verfehlt diesen Wert aber um 0,14. Die Koinzidenz e^π - π ≈ 19,999 ist noch näher und trotzdem ohne bekannte Bedeutung.
Der Satz von Gelfond und Schneider aus dem Jahr 1934 besagt: Ist a algebraisch und weder 0 noch 1, und ist b algebraisch und irrational, dann ist a^b transzendent. Gelfonds Konstante erfüllt e^π = (e^(iπ))^(−i) = (−1)^(−i). Hier ist a = −1 algebraisch und b = −i algebraisch und irrational. Der Satz greift also direkt.
Tabelle mit Beispielen für Zahlen, die durch den Satz von Gelfond und Schneider als transzendent bewiesen werden
| Ausdruck | a | b | Ergebnis |
|---|---|---|---|
| e^π = (-1)^(-i) | -1 | -i | transzendent |
| 2^√2 (Hilbert) | 2 | √2 | transzendent |
| √2^√2 | √2 | √2 | transzendent |
Die numerische Beinahegleichheit e^π − π ≈ 19,9990999 hat keine bekannte mathematische Erklärung. Wahrscheinlich ist sie Zufall, aber ähnliche Koinzidenzen, etwa bei Ramanujans Konstante, haben sich manchmal als tief begründet erwiesen. e^π wurde auf Millionen von Dezimalstellen berechnet: 23,14069263277926900572908636794854738…
Es gilt e^π > π^e. Das lässt sich ohne Rechner beweisen: Die Funktion x^(1/x) hat ihr Maximum bei x=e, also gilt e^(1/e) > π^(1/π), und daraus folgt e^π > π^e.
Gelfonds Konstante e^pi ≈ 23,14069. Zu zeigen, dass sie transzendent ist, war Hilberts 7. Problem aus dem Jahr 1900. Gelfond löste es 1934: Ist a algebraisch und weder 0 noch 1, und ist b algebraisch und irrational, dann ist a^b transzendent. Weil e^pi = (-1)^(-i) gilt und -1 sowie -i algebraisch sind, während -i irrational ist, lässt sich der Satz direkt anwenden. Die Beinahegleichheit e^pi - pi ≈ 19,999 hat keine bekannte mathematische Erklärung.