Die Funktion e^(−x²) ist die Glockenkurve: Sie erreicht bei x = 0 ihren höchsten Wert 1 und fällt nach beiden Seiten symmetrisch gegen 0 ab. Die Fläche unter ihr über die gesamte reelle Achse hinweg ist genau √π ≈ 1,7724. Das ist bemerkenswert: e und π, die sonst meist in getrennten Zusammenhängen auftreten, werden im einfachsten Integral der Wahrscheinlichkeitstheorie vereint.
Das Integral von e^(−x²) über alle x ist √π ≈ 1,7725. Das ist das Gaußsche Integral. Teilt man seine Wurzel durch √(2π), erhält man die Kurve der Standardnormalverteilung.
Der Beweis ist einer der elegantesten Tricks der Mathematik. Sei I = ∫e^(−x²)dx. Man berechnet I², indem man es als Doppelintegral über x und y schreibt und dann zu Polarkoordinaten r, θ wechselt. Der Integrand wird zu e^(−r²) und das Flächenelement zu r·dr·dθ. Gerade dieses r macht das Integral elementar: ∫₀^∞ re^(−r²)dr = 1/2. Multipliziert man mit ∫₀^(2π) dθ = 2π, erhält man I² = π und damit I = √π.
Die Normalverteilung, der zentrale Grenzwertsatz, quantenmechanische Wellenfunktionen mit Gaußpaketen und Stirlings Näherung für Fakultäten beruhen alle auf diesem einen Integral. Der Wert √π erscheint überall dort, wo e^(−x²) integriert wird, also an überraschend vielen Stellen der stetigen Wahrscheinlichkeitstheorie.
Das Gaußsche Integral ist das Integral von -unendlich bis +unendlich über e^(-x^2) dx = sqrt(pi). Der elegante Beweis quadriert das Integral, wechselt zu Polarkoordinaten und wertet es exakt aus. Diese Rechnung ist der Schlüssel hinter der Normalverteilung: Die Dichte (1/sqrt(2*pi))*e^(-x^2/2) integriert sich zu 1. Die Gaußfunktion erscheint in der Quantenmechanik, bei der Wärmeleitung, in Stirlings Näherung und im zentralen Grenzwertsatz.