Summiere die Kehrwerte aller Primzahlen bis n: 1/2 + 1/3 + 1/5 + 1/7 + ⋯ + 1/p. Diese Summe wächst, aber unglaublich langsam, nämlich wie ln(ln(n)). Die Meissel-Mertens-Konstante M ist die präzise Lücke zwischen dieser Summe und ihrem führenden Term, genau wie die Euler-Mascheroni-Konstante γ die Lücke zwischen der harmonischen Reihe und ln(n) misst.
Euler bewies 1737, dass die Summe aller Primzahlkehrwerte divergiert. Das ist deutlich schwieriger, als nur zu zeigen, dass es unendlich viele Primzahlen gibt, und gibt ein quantitatives Maß dafür, wie dicht die Primzahlen liegen. Der Satz von Mertens sagt dann: Σ(p≤n) 1/p = ln(ln(n)) + M + O(1/log n). Damit ist M genau der konstante Term der Asymptotik.
Vergleich der Euler-Mascheroni-Konstante und der Meissel-Mertens-Konstante.
| Euler-Mascheroni γ | Meissel-Mertens M |
|---|---|
| Σ 1/n − ln(n) → 0,5772 | Σ 1/p − ln(ln n) → 0,2615 |
| alle ganzen Zahlen | nur Primzahlen |
M und γ hängen über M = γ + Σₚ(ln(1−1/p) + 1/p) zusammen. Ob eine dieser beiden Konstanten irrational ist, weiß man nicht. Beide wurden auf Milliarden Dezimalstellen berechnet und beide gelten als wahrscheinlich transzendent, aber ein Beweis existiert für keine. M beginnt mit 0,261497212847642783755426838608669…
Die harmonische Summe erreicht 2,93, 5,19, 7,49 und 9,79. Die Primzahlkehrwertsumme, die wie ln(ln(n))+M wächst, liegt an denselben Stellen nur bei 0,84, 1,18, 1,52 und 1,85.
Die Euler-Mascheroni-Konstante γ misst die Lücke zwischen der harmonischen Reihe 1 + 1/2 + 1/3 + ... + 1/n und ln(n). Die Meissel-Mertens-Konstante M spielt dieselbe Rolle für die Summe der Primzahlkehrwerte 1/2 + 1/3 + 1/5 + ... + 1/p im Vergleich zu ln(ln(n)). Beide sind also die Korrekturkonstanten divergenter Reihen mit logarithmischem Wachstum.
Die Meissel-Mertens-Konstante M ≈ 0,26149 spielt für Primzahlkehrwerte dieselbe Rolle, die die Euler-Mascheroni-Konstante für die harmonische Reihe spielt. Mertens bewies 1874, dass 1/2 + 1/3 + 1/5 + ... + 1/p = ln(ln(n)) + M + kleiner Fehler. Ob M irrational ist, bleibt unbekannt. Sie erscheint in Mertenssätzen über Primzahlprodukte und in der Dichte glatter Zahlen. M und γ sind über eine explizite Summe über alle Primzahlen miteinander verbunden.