√2 ist die Länge der Diagonale eines Einheitsquadrats. Legt man ein Quadrat mit Seitenlänge 1 auf den Tisch, dann ist der Abstand von einer Ecke zur gegenüberliegenden Ecke genau √2. Das folgt direkt aus dem Satz des Pythagoras: 1² + 1² = (√2)².
Die Pythagoreer entdeckten um 500 v. Chr., dass √2 nicht als Bruch p/q mit ganzen Zahlen p und q geschrieben werden kann. Der Widerspruchsbeweis ist elegant: Angenommen, √2 = p/q in vollständig gekürzter Form. Dann gilt 2q² = p², also ist p² gerade und damit p selbst gerade, also p = 2k. Dann folgt 2q² = 4k² und somit q² = 2k², also ist auch q gerade. Das widerspricht der Annahme, dass p/q bereits vollständig gekürzt war. Also ist √2 irrational.
Konvergenten des Kettenbruchs [1; 2, 2, 2, …]. Jeder dieser Brüche ist die beste rationale Approximation mit dem jeweiligen Nenner.
Konvergenten der Wurzel aus 2 aus ihrem Kettenbruch.
| Bruch | Dezimalzahl | Fehler |
|---|---|---|
| 1/1 | 1,000 | 0,41421 |
| 3/2 | 1,500 | 0,08579 |
| 7/5 | 1,400 | 0,01421 |
| 17/12 | 1,41667 | 0,00246 |
| 99/70 | 1,41429 | 0,0000849 |
√2 ist algebraisch, weil es x² = 2 erfüllt, aber dennoch irrational. In der Trigonometrie gilt sin(45°) = cos(45°) = 1/√2. Die A-Papier-Reihe, also A4, A3, A2 und so weiter, benutzt das Verhältnis 1:√2, damit beim Halbieren dieselben Proportionen erhalten bleiben. Voller Wert: 1,41421356237309504880168872…
Jedes rechtwinklige Dreieck hat eine Kathete gleich der vorherigen Hypotenuse und eine Kathete gleich 1. Die Hypotenusen sind √1, √2, √3, √4, √5… Die meisten davon sind irrational. √2, rot markiert, war die erste Zahl, deren Irrationalität bewiesen wurde, von den Pythagoreern um 500 v. Chr.
Die Wurzel aus 2 ist ungefähr 1,41421356237309504880. Sie war die erste Zahl überhaupt, deren Irrationalität bewiesen wurde, von den antiken Griechen um 500 v. Chr. Sie ist algebraisch und erfüllt x² = 2. Sie erscheint als Diagonale eines Einheitsquadrats, in der gleichstufigen Stimmung der Musik, wo jeder Halbton die Frequenz mit der zwölften Wurzel aus 2 multipliziert, in den Formaten der A-Papierreihe und überall dort, wo im Satz des Pythagoras beide Katheten gleich lang sind.
Square Root of 2 is irrational. Its decimal expansion never ends and never repeats. Every digit shown below is computed from the continued fraction.