Eulers Identität folgt aus Eulers Formel: eix = cos(x) + i·sin(x). Setzt man x = π, erhält man eiπ = cos(π) + i·sin(π) = −1, also eiπ + 1 = 0.
eiθ zeichnet den Einheitskreis nach. Eine Drehung um π landet bei −1. Addiere 1 und erhalte 0.
Sie verbindet Arithmetik (0 und 1), Algebra (i), Geometrie (π) und Analysis (e), also vier verschiedene Gebiete der Mathematik, in einer einzigen Gleichung von verblüffender Einfachheit. Richard Feynman nannte sie "die bemerkenswerteste Formel der Mathematik."
Leonhard Euler (1707–1783) veröffentlichte die Formel eix = cos(x) + i·sin(x) in seiner Introductio in analysin infinitorum von 1748. Die Identität ist der Spezialfall x = π. Euler führte die Notationen e, i, f(x), Σ und π ein oder machte sie populär.
Die Taylor-Reihe für eˣ zerfällt bei x = iπ in cos(π) für die reellen Terme und i·sin(π) für die imaginären Terme. Weil cos(π) = -1 und sin(π) = 0 gilt, erhält man e^(iπ) = -1 und damit e^(iπ) + 1 = 0.
Die Formel e^(i*theta) beschreibt in der komplexen Ebene den Einheitskreis, wenn theta wächst. e^(i*pi) ist eine Drehung um genau pi Radiant, also 180 Grad, ausgehend von 1 und landet bei -1. Addiert man 1, kehrt man zu 0 zurück. Darum gilt e^(i*pi) + 1 = 0: Es ist eine halbe Umdrehung der komplexen Ebene, ausgedrückt als Gleichung.
e^(iθ) ist ein Rotationsoperator. Bei θ = π hat man genau einen halben Kreis durchlaufen. Der Punkt 1 auf der reellen Achse wandert zu -1. Addiert man auf beiden Seiten 1, erhält man e^(iπ) + 1 = 0.
Eulers Identität e^(i*pi) + 1 = 0 vereint die fünf wichtigsten Konstanten der Mathematik: e, die Basis der natürlichen Logarithmen, i, die imaginäre Einheit, pi, die Kreiszahl, 1, das multiplikative Identitätselement, und 0, das additive Identitätselement. Sie folgt direkt aus Eulers Formel e^(i*theta) = cos(theta) + i*sin(theta), wenn man theta = pi setzt. Weil cos(pi) = -1 und sin(pi) = 0 gilt, erhält man e^(i*pi) = -1. Euler veröffentlichte dies um 1748. In mehreren Umfragen wurde sie zur schönsten Gleichung der Mathematik gewählt.