In jedem rechtwinkligen Dreieck ist das Quadrat über der Hypotenuse, also der Seite gegenüber dem rechten Winkel, gleich der Summe der Quadrate über den beiden anderen Seiten. Sind die Katheten a und b und die Hypotenuse c, so gilt a² + b² = c². Ein 3-4-5-Dreieck erfüllt also 9 + 16 = 25.
a² + b² = c². Beim 3-4-5-Dreieck gilt 9 + 16 = 25. Die blaue und die rote Quadratfläche zusammen sind gleich groß wie die grüne.
Babylonische Tontafeln aus dem Jahr 1900 v. Chr. enthalten pythagoreische Tripel wie 3,4,5, 5,12,13 und 8,15,17. Das zeigt, dass die Beziehung lange vor Pythagoras empirisch bekannt war. Seine Schule um 570 v. Chr. gab den ersten Beweis. Inzwischen kennt man über 370 verschiedene Beweise, algebraische, geometrische, trigonometrische und sogar einen, den der spätere US-Präsident James Garfield 1876 veröffentlichte.
Tabelle pythagoreischer Tripel.
| a | b | c | a²+b²=c² |
|---|---|---|---|
| 3 | 4 | 5 | 9+16=25 ✓ |
| 5 | 12 | 13 | 25+144=169 ✓ |
| 8 | 15 | 17 | 64+225=289 ✓ |
| 7 | 24 | 25 | 49+576=625 ✓ |
In n Dimensionen ist der Abstand vom Ursprung zum Punkt (x₁, x₂, …, xₙ) gleich √(x₁² + x₂² + ⋯ + xₙ²). Fermats letzter Satz, 1995 von Andrew Wiles nach 358 Jahren bewiesen, besagt, dass es für Exponenten größer als 2 keine ganzzahligen Lösungen von aⁿ + bⁿ = cⁿ gibt. Der Satz des Pythagoras ist also genau der Fall n = 2, und nur dort gibt es unendlich viele ganzzahlige Lösungen.
Beide großen Quadrate haben die Seitenlänge a+b. Beide enthalten vier identische rechtwinklige Dreiecke. Im linken Quadrat bleibt c² übrig, im rechten a²+b². Daher müssen beide Flächen gleich sein.
In jedem rechtwinkligen Dreieck gilt a^2 + b^2 = c^2. Empirisch war die Beziehung den Babyloniern schon um 1800 v. Chr. bekannt, erstmals bewiesen wurde sie wohl von den Pythagoreern um 570 v. Chr. Es sind über 370 verschiedene Beweise bekannt, darunter einer von US-Präsident James Garfield aus dem Jahr 1876. Ganzzahlige Lösungen heißen pythagoreische Tripel und werden vollständig durch (m^2-n^2, 2mn, m^2+n^2) erzeugt. Fermats letzter Satz, 1995 von Wiles bewiesen, zeigt, dass es für Exponenten über 2 keine entsprechenden ganzzahligen Lösungen mehr gibt. In n Dimensionen wird daraus die euklidische Distanzformel.