Der Hauptsatz der Differential- und Integralrechnung verbindet zwei scheinbar getrennte Ideen. Teil 1: Integriert man eine Funktion von einem festen Punkt bis x, dann ist die Ableitung dieses Integrals wieder die ursprüngliche Funktion. Teil 2: Das bestimmte Integral von f von a bis b ist gleich jeder Stammfunktion F, ausgewertet bei b minus F, ausgewertet bei a.
∫₀² x² dx = [x³/3]₀² = 8/3 - 0 = 8/3 ≈ 2,667. Die Stammfunktion F(x) = x³/3 liefert die exakte Fläche ohne Näherung.
Vor diesem Satz musste man Flächen mit Riemann-Summen berechnen: Man zerlegte die Region in dünne Rechtecke, summierte sie auf und nahm den Grenzwert. Der Hauptsatz ersetzt all das durch eine einzige Subtraktion. Newton verstand dies bis 1666, Leibniz unabhängig davon bis 1675. Ihr Prioritätsstreit spaltete die britische und kontinentale Mathematik für eine ganze Generation.
Jedes Integral, das in Analysis-Vorlesungen gelehrt wird, benutzt Teil 2: Finde eine Stammfunktion, werte sie an den Randpunkten aus und bilde die Differenz. Das funktioniert, weil Differenzieren und Integrieren exakte Umkehrungen voneinander sind. Es ist eines der tiefsten und nützlichsten Resultate der gesamten Mathematik.
Eine Riemann-Summe mit 8 Rechtecken ergibt ≈ 0,273. Die exakte Antwort ist 8/3 ≈ 2,667. Der Hauptsatz liefert exakte Resultate, ganz ohne Rechtecke.
Die Arbeit, die eine veränderliche Kraft F(x) bei einer Verschiebung von a nach b verrichtet, ist W = Integral von a bis b über F(x) dx = P(b) - P(a), wobei P die potenzielle Energie mit P′ = -F ist. Geschwindigkeit integriert zu Weg, Kraft integriert zu Impuls. Der Hauptsatz macht diese Rechnungen handhabbar, statt unendliche Riemann-Summen auszurechnen.