Fibonaccizahlen

F(n) = F(n-1) + F(n-2)
1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89...

Die Fibonacci-Folge beginnt mit 1, 1, und jede weitere Zahl ist die Summe der beiden vorherigen. Benannt ist sie nach Leonardo von Pisa, genannt Fibonacci, der sie 1202 beschrieb, doch in der indischen Mathematik war sie schon Jahrhunderte früher bekannt. Ihre Quotienten konvergieren gegen den goldenen Schnitt phi, und sie taucht überall dort in der Natur auf, wo effiziente Packung entsteht.

Fibonaccispirale: Quadrate und Viertelkreisbögen, wie beim Nautilus
21 13 8 5 3 2 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21 - each number = sum of the two before it
Fibonacci in Pascals Dreieck: flache Diagonalen summieren sich zu Fibonaccizahlen
1 1 1 1 2 1 1 3 3 1 1 4 6 4 1 1 5 10 10 5 1 1 1 1+1=2 1+2=3 Each shallow diagonal sums to a Fibonacci number: 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13...
Binets Formel: geschlossene Form für Fibonaccizahlen
F(n) = (φⁿ − ψⁿ) / √5
φ = (1+√5)/2 ≈ 1.61803… ψ = (1−√5)/2 ≈ −0.61803…
Because |ψ| < 1, ψⁿ → 0. F(n) is the nearest integer to φⁿ / √5.
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Kurzfakten zu Fibonaccizahlen

Die Folge 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34... wird durch F(n) = F(n-1) + F(n-2) definiert. Sie ist nach Leonardo von Pisa benannt, der sie 1202 in Europa bekannt machte, war aber in der indischen Mathematik spätestens seit dem 6. Jahrhundert bekannt. Quotienten aufeinanderfolgender Fibonacci-Zahlen konvergieren gegen den goldenen Schnitt phi. Die Folge erscheint in Spiralen von Sonnenblumenkernen, in den Schuppen von Tannenzapfen und Ananas sowie in Verzweigungen von Bäumen. Binets Formel gibt eine exakte geschlossene Form an: F(n) = (phi^n - psi^n) / sqrt(5).

Verwendet in
Mathematik
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