Jede reelle Zahl besitzt einen Kettenbruch: x = a₀ + 1/(a₁ + 1/(a₂ + ⋯)). Die ganzen Zahlen a₁, a₂, a₃, … heißen Teilnenner. Für π lauten sie 3; 7, 15, 1, 292, 1, 1, 1, 2… Für √2 sind es 1; 2, 2, 2, 2, 2… also periodisch nur Zweien. Khinchin bewies 1934, dass für fast jede reelle Zahl das geometrische Mittel dieser Teilnenner gegen dieselbe Konstante K₀ ≈ 2,68545 konvergiert.
P(k) = log₂(1 + 1/k(k+2)). Der Teilnenner 1 erscheint in ungefähr 41 Prozent aller Kettenbruchentwicklungen zufälliger reeller Zahlen.
Die Formel für K₀ lautet K₀ = ∏(k=1 bis ∞) (1 + 1/(k(k+2)))^(log₂(k)) und konvergiert extrem langsam. Khinchins Satz ist ein Beispiel für ein Resultat, das für fast jede Zahl gilt und sich doch für keine einzige konkret bekannte Konstante verifizieren lässt. Wir können bis heute kein explizites Beispiel einer Zahl angeben, von der wir bewiesen haben, dass sie ihm gehorcht.
Schon bei k=3 sind mehr als zwei Drittel aller Teilnenner erfasst. Die Folge nähert sich langsam der 1.
Dass die 1 mit etwa 41,5 Prozent dominiert, erklärt, warum K₀ ≈ 2,685 kleiner als 3 ist: die kleinen Werte ziehen das geometrische Mittel nach unten. Wären die Ziffern 1 bis 9 alle gleich wahrscheinlich, läge das geometrische Mittel bei (1·2·3⋯9)^(1/9) = 9!^(1/9) ≈ 4,15. Die starke Gewichtung zugunsten der 1 macht K₀ erheblich kleiner.
Khinchins Konstante K₀ ≈ 2,68545 ist ein universeller Grenzwert: Für fast jede reelle Zahl x = [a₀; a₁, a₂, ...] konvergiert das geometrische Mittel der Teilnenner (a₁·a₂·...·aₙ)^(1/n) gegen K₀. Khinchin bewies dies 1934. Das Erstaunliche ist die Universalität: Fast jede Zahl teilt sich denselben geometrischen Mittelwert, und doch lässt sich das für keine einzelne bekannte Konstante wie π oder e nachweisen. Ob K₀ algebraisch oder transzendent ist, ist unbekannt.