Das Basler Problem fragt nach dem exakten Wert von 1 + 1/4 + 1/9 + 1/16 + ⋯. Die Reihe konvergiert, aber wohin? Pietro Mengoli formulierte die Frage 1650. Sie brachte 84 Jahre lang alle Mathematiker ins Stocken, bis Euler sie 1734 im Alter von 28 Jahren löste.
Die Partialsummen nähern sich π²/6 ≈ 1,6449 langsam an. Euler bewies 1734, dass der Grenzwert genau π²/6 ist und verband damit Analysis und Geometrie.
Eulers Beweis faktorisiert die Taylorreihe von sin(x)/x als unendliches Produkt über ihre Nullstellen ±π, ±2π, ±3π… Vergleicht man den x²-Koeffizienten der Produktdarstellung mit dem Taylorkoeffizienten, erhält man direkt Σ 1/n² = π²/6. Das ist eine der berühmtesten Rechnungen der Mathematik. Dass π hier erscheint, ist kein Zufall: Kreise und Sphären sind über die Riemannsche Zetafunktion natürlich mit Summen über ganze Zahlen verbunden.
Jedes Glied 1/n^2 wird schnell kleiner. Ihre Summe konvergiert exakt gegen π^2/6 ≈ 1,6449.
Das Ergebnis verallgemeinert sich: ζ(4) = π⁴/90, ζ(6) = π⁶/945, und alle geraden Zetawerte sind rationale Vielfache von Potenzen von π. Die ungeraden Werte ζ(3), ζ(5), ζ(7)… sind weit geheimnisvoller. Apéry bewies 1978, dass ζ(3) irrational ist, aber eine geschlossene Form in π ist nicht bekannt.
Die Wahrscheinlichkeit, dass zwei zufällig gewählte ganze Zahlen keinen gemeinsamen Teiler haben, also teilerfremd sind, beträgt genau 6/π², den Kehrwert von π²/6. Das sind ungefähr 60,8 Prozent. Damit verbindet das Basler Problem die Analysis direkt mit Zahlentheorie und Wahrscheinlichkeit.
Pi · Riemannsche Zetafunktion · Apéry