φ, gesprochen Phi, ist die positive Lösung der Gleichung x² = x + 1. Diese Gleichung besitzt eine geometrische Bedeutung: Teilt man eine Strecke so, dass sich die ganze Strecke zum längeren Teil verhält wie der längere Teil zum kürzeren, dann ist dieses Verhältnis φ. Keine andere Zahl besitzt genau diese Selbstähnlichkeit.
Tabelle von Fibonacci-Quotienten, die sich φ annähern.
| Fib-Paar | Quotient | Abstand zu φ |
|---|---|---|
| 1, 1 | 1,000 | 0,618 |
| 2, 3 | 1,500 | 0,118 |
| 8, 13 | 1,625 | 0,007 |
| 55, 89 | 1,61818… | 0,00015 |
| → ∞ | 1,61803… | 0 |
Der goldene Schnitt erscheint im regelmäßigen Fünfeck und im Pentagramm, wo sich die Diagonalen im Verhältnis φ teilen. Jede Fibonacci-Zahl, dividiert durch ihre Vorgängerin, nähert sich φ an. Der Kettenbruch [1; 1, 1, 1, …] ist der einfachste unendliche Kettenbruch überhaupt, er besteht nur aus Einsen. Dadurch ist φ die am schwersten durch Brüche approximierbare Zahl und verdient den Titel der „irrationalsten“ Zahl.
Schneidet man aus einem goldenen Rechteck ein Quadrat aus, bleibt ein kleineres goldenes Rechteck übrig, skaliert mit dem Faktor 1/φ. Wiederholt man das endlos, zeichnet der Bogen die goldene Spirale, wie man sie in Muscheln und Galaxien sieht.
φ erfüllt φ² = φ + 1, also auch φ = 1 + 1/φ. Setzt man dies immer wieder ein, erhält man φ = 1 + 1/(1 + 1/(1 + …)). Dieser unendliche Kettenbruch aus lauter Einsen ist sowohl Definition als auch Grund für seinen Ruf als „irrationalste“ Zahl. Voller Wert: 1,61803398874989484820…
In einem regelmäßigen Fünfeck mit Seitenlänge 1 hat jede Diagonale die Länge φ ≈ 1,618. Die Diagonalen teilen sich außerdem gegenseitig im goldenen Schnitt. Zeichnet man alle fünf Diagonalen, entsteht ein Pentagramm voller goldener Proportionen.
Der goldene Schnitt φ ist ungefähr 1,61803398874989484820. Er ist die positive Lösung von x² = x + 1. φ ist irrational, algebraisch und der Grenzwert der Quotienten aufeinanderfolgender Fibonacci-Zahlen. Er erscheint im regelmäßigen Fünfeck und Ikosaeder, in Spiralmustern von Sonnenblumenkernen und in Proportionen, die seit der Antike untersucht werden. Sein Kettenbruch [1; 1, 1, 1, ...] macht ihn zur am schlechtesten durch Brüche approximierbaren reellen Zahl. Genau deshalb verwendet die Phyllotaxis den aus φ abgeleiteten goldenen Winkel.
Golden Ratio φ is irrational. Its decimal expansion never ends and never repeats. Every digit shown below is computed from the quadratic formula.