Pi ist das Verhältnis des Umfangs eines beliebigen Kreises zu seinem Durchmesser. Ganz gleich, wie groß der Kreis ist, dieses Verhältnis bleibt immer exakt gleich: π = 3,14159265358979... Die Definition ist geometrisch, aber Pi taucht in Physik, Wahrscheinlichkeit, Technik und in jedem Gebiet der Mathematik auf.
Pi kann nicht als Bruch zweier ganzer Zahlen geschrieben werden, bewiesen von Johann Heinrich Lambert im Jahr 1761. Es ist außerdem transzendent, also keine Lösung irgendeines Polynoms mit ganzzahligen Koeffizienten, bewiesen von Ferdinand von Lindemann 1882. Deshalb ist die Quadratur des Kreises mit Zirkel und Lineal unmöglich. Seine Dezimalentwicklung endet nie und wiederholt sich nie periodisch.
Archimedes von Syrakus, etwa 250 v. Chr., war der Erste, der Pi streng abschätzte. Mit einbeschriebenen und umbeschriebenen 96-Ecken zeigte er, dass Pi zwischen 3 + 10/71 und 3 + 1/7 liegt. Die Babylonier verwendeten 3,125, die Ägypter 3,1605. Das Symbol π führte der walisische Mathematiker William Jones 1706 ein, Euler machte es populär. Stand 2024 wurde Pi auf über 100 Billionen Dezimalstellen berechnet.
Pi erscheint weit über Kreise hinaus: in der Normalverteilung, also der Glockenkurve mit √(2π), in Eulers Identität e^(iπ) + 1 = 0, in der Wahrscheinlichkeit, dass zwei zufällige ganze Zahlen keinen gemeinsamen Teiler haben, nämlich 6/π², in Stirlings Formel n! ≈ √(2πn)(n/e)ⁿ, in der Quantenmechanik und in der Volumenformel der Kugel 4πr³/3.
π ≈ 3,14159265358979323846. Irrational, Lambert 1761. Transzendent, Lindemann 1882. Der Pi Day ist der 14. März, also 3/14 im US-Datumsformat. Der Bruch 22/7 überschätzt Pi um etwa 0,04 Prozent. Die bessere Näherung 355/113 ist auf sechs Dezimalstellen korrekt. Ob Pi eine normale Zahl ist, also ob jede Ziffernfolge mit gleicher Häufigkeit erscheint, ist unbekannt, wird aber weithin vermutet.
Archimedes benutzte 96-seitige Polygone und zeigte 3 + 10/71 < π < 3 + 1/7, also 3,1408 < π < 3,1429. Er berechnete Pi nicht direkt, er schloss es ein. Die Methode funktioniert, weil der Umfang des Kreises zwischen den Umfängen der beiden Polygone liegt.
Pi is irrational. Its decimal expansion never ends and never repeats. Every digit shown below is computed from the leibniz formula.