Ein Kettenbruch stellt eine Zahl als ganze Zahl plus den Kehrwert eines weiteren Kettenbruchs dar. Jede reelle Zahl hat eine eindeutige Kettenbruchentwicklung. Rationale Zahlen enden, quadratische Irrationale werden periodisch, Transzendente wie pi zeigen kein Muster. Die Konvergenten, also die rationalen Näherungen durch Abschneiden, sind nachweislich die besten Approximationen mit einem Nenner dieser Größe.
Tabelle, die die Kettenbrüche von phi, sqrt2, e und pi vergleicht und zeigt, welche periodisch sind und welche unregelmäßig.
| KONSTANTE | KB-NOTATION | TYP |
|---|---|---|
| phi | [1; 1, 1, 1, 1, ...] | periodisch |
| sqrt(2) | [1; 2, 2, 2, 2, ...] | periodisch |
| sqrt(3) | [1; 1, 2, 1, 2, ...] | periodisch |
| e | [2; 1, 2, 1, 1, 4, 1, 1, 6...] | Muster |
| pi | [3; 7, 15, 1, 292, 1, ...] | kein Muster |
| Satz: Ein Kettenbruch ist genau dann periodisch, wenn die Zahl quadratisch irrational ist (Lagrange, 1770) | ||
| phi ist am schwersten zu approximieren: sein Kettenbruch aus lauter Einsen liefert die langsamste mögliche Konvergenz |
Tabelle der Konvergenten von pi mit immer genaueren rationalen Approximationen bei kleinen Nennern.
| KONVERGENT | DEZIMAL | FEHLER |
|---|---|---|
| 3/1 | 3,000000 | 0,14159 |
| 22/7 | 3,142857 | 0,00126 |
| 333/106 | 3,141509 | 0,000083 |
| 355/113 | 3,141592… | 0,0000003 |
| 103993/33102 | 3,14159265… | 2,7e−10 |
| 355/113 ist mit einem nur dreistelligen Nenner auf 6 Dezimalstellen korrekt |
Die Konvergenten 3, 22/7, 333/106, 355/113 und 103993/33102 liegen abwechselnd über und unter π. Jede ist die beste rationale Approximation mit diesem oder kleinerem Nenner.
Phi · Sqrt2 · Khinchin
Jede reelle Zahl besitzt eine eindeutige Kettenbruchentwicklung. Rationale Zahlen haben endliche Entwicklungen. Quadratische Irrationale wie sqrt(2) und phi haben schließlich periodische Entwicklungen. Transzendente wie pi zeigen kein Muster. Die Konvergenten eines Kettenbruchs sind die besten rationalen Approximationen: 22/7 und 355/113 sind Konvergenten von pi und treffen pi auf 2 beziehungsweise 6 Dezimalstellen. Phi = [1; 1, 1, 1, ...] ist im präzisen Sinn die am schwersten approximierbare Zahl.