Was ist die Catalan-Konstante?

Alternierende Summe 1 − 1/9 + 1/25 − … konvergiert gegen G

G = 1 − 1/9 + 1/25 − 1/49 + … = Σ (−1)ⁿ/(2n+1)². Die alternierende Reihe konvergiert langsam. Ob G irrational ist, bleibt unbekannt.

Drei äquivalente Formen der Catalan-Konstante

G = Σₙ₌₀^∞ (−1)ⁿ/(2n+1)² ≈ 0.91597…

G = ∫₀¹ arctan(t)/t dt = ∫₀^(π/2) ln(1/sin t)/2 · dt

All three expressions are equal. G appears in combinatorics, physics, and analysis.

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Kurzfakten zur Catalan-Konstante

Die Catalan-Konstante G = 1 - 1/9 + 1/25 - 1/49 + ... = 0,91596559... Ob sie irrational ist, gehört zu den großen offenen Problemen der Mathematik. Sie erscheint in der Kombinatorik, bei der Auswertung bestimmter Integrale und als Wert der Dirichlet-Betafunktion an der Stelle 2. Untersucht wurde sie von Eugène Catalan im Jahr 1865. Sie wurde auf über 600 Milliarden Dezimalstellen berechnet.

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Question

Was ist eine einfache Integraldarstellung der Catalanschen Konstante?

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