Die harmonische Reihe 1 + 1/2 + 1/3 + 1/4 + ⋯ divergiert, wächst aber unglaublich langsam. Nach einer Million Gliedern erreicht sie kaum 14. Der natürliche Logarithmus ln(n) wächst mit derselben Rate. Die Euler-Mascheroni-Konstante γ ist genau der Abstand zwischen beiden: γ = lim (1 + 1/2 + 1/3 + ⋯ + 1/n) - ln(n).
Die Differenz zwischen der harmonischen Summe und ln(n) nähert sich für n → ∞ der Zahl γ ≈ 0,5772. Die Konvergenz ist sehr langsam, bei n = 1000 beträgt die Lücke immer noch etwa 0,001.
γ taucht in der Analysis und Zahlentheorie an vielen Stellen auf. Sie verbindet die harmonische Reihe mit der Riemannschen Zetafunktion: formal gilt γ = -ζ′(1). Sie erscheint in der Gammafunktion über Γ′(1) = -γ, in der Verteilung von Primzahllücken, in Besselfunktionen und in der asymptotischen Entwicklung der Digammafunktion.
Ob γ rational oder irrational ist, gehört zu den ältesten offenen Problemen der Mathematik. Fast jeder Mathematiker glaubt, dass sie transzendent ist, aber ein Beweis fehlt. Sie wurde auf mehr als 600 Milliarden Dezimalstellen berechnet: 0,57721566490153286060651209008240243…
Die harmonischen Partialsummen H(n), rot und treppenförmig, werden mit ln(n)+γ, blau und glatt, verglichen. Der Abstand zwischen beiden geht gegen 0, schwankt aber: H(n)−ln(n) → γ.
Die Euler-Mascheroni-Konstante γ ist ungefähr 0,57721566490153286060. Ob sie rational oder irrational ist, bleibt unbekannt und gehört zu den berühmtesten offenen Fragen der Mathematik. Euler veröffentlichte sie zuerst 1734, Mascheroni berechnete sie 1790 unabhängig davon erneut. Gamma erscheint in der Gammafunktion, in der Riemannschen Zetafunktion, im Satz von Mertens über Primzahlprodukte, in Besselfunktionen und in der Verteilung von Primzahllücken. Da kein Streaming-Algorithmus bekannt ist, werden ihre Ziffern vorab berechnet und gespeichert.
Euler-Mascheroni Constant γ is irrational. Its decimal expansion never ends and never repeats. Every digit shown below is computed from the harmonic-logarithm limit.