Stirlings Approximation besagt, dass für große n gilt: n! ≈ √(2πn) · (n/e)ⁿ. Dass sowohl π als auch e in einer Formel zum Zählen von Permutationen auftauchen, ist bemerkenswert. Für n = 10 liegt der Fehler unter 1 Prozent. Für n = 100 liegt er unter 0,1 Prozent. Die Formel wird immer besser, je größer n ist.
Der relative Fehler |n! − Stirling(n)| / n! fällt bei n = 8 unter 1 Prozent und bei n = 80 unter 0,1 Prozent. Für große n ist Stirling praktisch exakt.
Abraham de Moivre fand 1730, dass n! ≈ C·√n·(n/e)ⁿ für eine bestimmte Konstante C gilt. James Stirling identifizierte noch im selben Jahr C = √(2π). Der Faktor √(2π) stammt aus dem Gaußschen Integral. Leitet man Stirlings Formel über die Gammafunktion her, taucht das Integral ∫e^(-t²)dt = √π auf und bringt π in die Formel ein.
Die logarithmische Form wird überall in der Physik verwendet. In der statistischen Mechanik verlangt Boltzmanns Entropieformel S = k·ln(W) den Ausdruck ln(N!) für riesige N, also Stoffmengen von Teilchen. Stirling liefert dafür ln(N!) ≈ N·ln(N) - N und macht die Rechnung handhabbar. Die vollständige asymptotische Reihe fügt Korrekturen hinzu: n! = √(2πn)(n/e)ⁿ · exp(1/(12n) - 1/(360n³) + ⋯).
Auf logarithmischer Skala sind n! und Stirlings Approximation praktisch nicht zu unterscheiden. Der relative Fehler geht für große n gegen 0.