Eine komplexe Zahl hat zwei Teile: einen Realteil und einen Imaginärteil. Die imaginäre Einheit i erfüllt i² = -1. Jede reelle Zahl ist eine komplexe Zahl mit b = 0. Komplexe Zahlen füllen eine 2D-Ebene statt einer 1D-Linie und geben jeder Polynomgleichung genau so viele Nullstellen wie ihren Grad.
Mit i zu multiplizieren bedeutet eine Drehung um 90 Grad gegen den Uhrzeigersinn. Zweimal mit i zu multiplizieren, also mit i², bedeutet eine Drehung um 180 Grad und macht aus 1 die -1. Darum ist i² = -1 kein algebraischer Trick, sondern eine Rotation.
Über den reellen Zahlen hat x²+1=0 keine Lösung. Über den komplexen Zahlen hat es zwei: i und -i. Der Fundamentalsatz der Algebra sagt: Erweitert man zu den komplexen Zahlen, dann hat jedes Polynom vom Grad n genau n Nullstellen.
Tabelle mit Polynomen über den reellen und komplexen Zahlen, die zeigt, dass jedes Polynom vom Grad n genau n komplexe Nullstellen hat.
| POLYNOM | REELLE NULLSTELLEN | KOMPLEX |
|---|---|---|
| x - 3 = 0 | 1 (x=3) | 1 |
| x² - 4 = 0 | 2 (±2) | 2 |
| x² + 1 = 0 | 0 reelle Nullstellen | 2 (±i) |
| x³ - 1 = 0 | 1 reelle Nullstelle | 3 |
| x⁴ + 4 = 0 | 0 reelle Nullstellen | 4 |
| Jedes Polynom vom Grad n hat genau n komplexe Nullstellen, Vielfachheiten mitgezählt |
Eulers Identität · Satz von de Moivre · Irrationale Zahlen
Komplexe Zahlen erweitern die reelle Zahlengerade zu einer 2D-Ebene, indem sie i einführen, wobei i² = -1 gilt. Jede komplexe Zahl z = a + bi hat einen Realteil a, einen Imaginärteil b, den Betrag |z| = sqrt(a² + b²) und das Argument arg(z) = atan(b/a). Multiplikation mit e^(i*theta) entspricht einer Rotation um theta Radiant. Der Fundamentalsatz der Algebra besagt, dass jedes Polynom vom Grad n genau n komplexe Nullstellen hat, Vielfachheiten mitgezählt. Komplexe Zahlen sind die Grundlage von Quantenmechanik, Signalverarbeitung und Eulers Identität.