Die Taylorreihe stellt jede glatte Funktion als unendliches Polynom dar. Jeder Koeffizient ist eine Ableitung. Der n-te Term ist f⁽ⁿ⁾(a)/n! mal (x-a)ⁿ. Für gutartige Funktionen wie eˣ, sin(x) und cos(x) konvergiert die Reihe überall zum exakten Funktionswert.
Jedes zusätzliche Glied erweitert den Bereich, in dem die Näherung gut ist. Mit immer mehr Gliedern gilt sin(x) ≈ x − x³/6 + x⁵/120 − x⁷/5040 + …
Die drei wichtigsten Maclaurin-Reihen sind: eˣ = 1 + x + x²/2! + x³/3! + ⋯, sie konvergiert überall. sin(x) = x - x³/3! + x⁵/5! - ⋯, ebenfalls überall. cos(x) = 1 - x²/2! + x⁴/4! - ⋯, auch überall konvergent. Setzt man in die Reihe von eˣ den Wert x = iπ ein, erhält man Eulers Identität.
Tabelle zentraler Maclaurin-Reihen.
| f(x) | Reihe | Radius |
|---|---|---|
| eˣ | 1+x+x²/2!+x³/3!+⋯ | ∞ |
| sin x | x-x³/3!+x⁵/5!-⋯ | ∞ |
| cos x | 1-x²/2!+x⁴/4!-⋯ | ∞ |
| ln(1+x) | x-x²/2+x³/3-⋯ | |x|≤1 |
| 1/(1-x) | 1+x+x²+x³+⋯ | |x|<1 |
Brook Taylor formulierte den allgemeinen Satz 1715, die auf 0 zentrierte Spezialform wurde von Colin Maclaurin 1742 populär gemacht. Jeder Taschenrechner und jeder Computer benutzt Taylorreihen, um transzendente Funktionen auszuwerten. Der Fehler nach n Gliedern wird durch den Restterm von Lagrange beschränkt: |f(x) - Pₙ(x)| ≤ max|f⁽ⁿ⁺¹⁾| · |x-a|ⁿ⁺¹ / (n+1)!.
cos(x) ≈ 1 − x²/2 + x⁴/24 − x⁶/720 + … Jedes weitere Glied erhöht die Genauigkeitsordnung.
Eine Taylorreihe stellt eine glatte Funktion als unendliches Polynom dar: f(x) = f(a) + f′(a)(x-a) + f″(a)(x-a)^2/2! + ... Die Koeffizienten sind Ableitungen im Entwicklungspunkt a. Maclaurin-Reihen sind um 0 zentriert. Die drei zentralen Reihen konvergieren überall: e^x = 1 + x + x^2/2! + ..., sin(x) = x - x^3/3! + x^5/5! - ..., cos(x) = 1 - x^2/2! + x^4/4! - ... Setzt man x = i*pi in die Reihe von e^x ein, erhält man Eulers Identität. Jeder Rechner verwendet intern Taylorreihen zur Auswertung transzendenter Funktionen.