Jede reelle Zahl besitzt beste rationale Approximationen, also Brüche p/q, die x näher kommen als jeder Bruch mit kleinerem Nenner. Die Nenner q₁, q₂, q₃, … wachsen. Aber mit welcher Rate? Paul Lévy bewies 1935, dass für fast jede reelle Zahl qₙ^(1/n) gegen e^β ≈ 3,27582 konvergiert, wobei β = π²/(12 ln 2) ist.
Für fast alle reellen Zahlen wächst ln(qₙ) linear mit Steigung β ≈ 1,1865. Die Nenner der Konvergenten von π, also 1, 7, 106, 113, 33102…, wachsen im Mittel schneller, weil der ungewöhnliche Teilnenner 292 auftritt.
Der goldene Schnitt φ = [1;1,1,1,…] besitzt Fibonacci-Nenner 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, …, die pro Schritt nur mit Rate φ ≈ 1,618 wachsen. Das ist viel langsamer als e^β ≈ 3,276. Genau deshalb gilt φ als die am schlechtesten approximierbare Zahl, also als die „irrationalste“ Zahl. Die meisten Zahlen haben Nenner, die viel schneller wachsen, nämlich mit Rate e^β.
Vergleich der Nennerwachstumsraten beim goldenen Schnitt und bei einer typischen Zahl.
| φ = [1;1,1,1,…] | Typische Zahl |
|---|---|
| qₙ wächst wie φⁿ ≈ 1,618ⁿ | qₙ wächst wie (e^β)ⁿ ≈ 3,276ⁿ |
| Langsamstmögliches Wachstum | Lévys Satz |
Der Wert β = π²/(12 ln 2) entsteht durch Integration der Gauss-Kusmin-Verteilung. Das ln 2 kommt vom Rechnen in Basis 2, also binär, und π² taucht aus denselben Quellen auf wie in ζ(2) = π²/6. Lévys Konstante lautet 1,1865691104156254… und e^β = 3,275822918721811159787681882…
Der Teilnenner 292 bei Schritt 5 lässt die Nenner von π deutlich schneller als im Durchschnitt wachsen. Für eine typische Zahl gilt ln(qₙ)/n → β ≈ 1,187.
| n | Teilnenner aₙ | Konvergente pₙ/qₙ | Nenner qₙ | ln(qₙ)/n |
|---|---|---|---|---|
| 1 | 3 | 3/1 | 1 | 0,00 |
| 2 | 7 | 22/7 | 7 | 0,97 |
| 3 | 15 | 333/106 | 106 | 1,55 |
| 4 | 1 | 355/113 | 113 | 1,19 |
| 5 | 292 | 103993/33102 | 33102 | 2,52 |
| 6 | 1 | 104348/33215 | 33215 | 1,74 |
| 7 | 1 | 208341/66317 | 66317 | 1,54 |
Lévys Konstante β = π²/(12 ln 2) ≈ 1,18657. Für fast jede reelle Zahl gilt für den Nenner qₙ des n-ten Konvergenten, dass qₙ^(1/n) gegen e^β ≈ 3,27582 konvergiert. Paul Lévy bewies dies 1935. Der goldene Schnitt mit seinen Fibonacci-Nennern und der Wachstumsrate φ ≈ 1,618 liegt weit unter dem Durchschnitt und bestätigt damit seinen Ruf als am schwersten rational approximierbare Zahl. In der Formel verbinden sich π und ln 2, also Kreisgeometrie und Logarithmen, über die Gauss-Kusmin-Verteilung.