Das silberne Verhältnis δₛ = 1 + √2 ≈ 2,41421 ist die positive Lösung von x² = 2x + 1. Es ist das zweite Mitglied der Familie der metallischen Mittelwerte. Der goldene Schnitt erfüllt x² = x + 1, also lauter Einsen im Kettenbruch, das silberne Verhältnis erfüllt x² = 2x + 1 und hat den Kettenbruch [2; 2, 2, 2, …].
Die Pell-Zahlen 1, 2, 5, 12, 29, 70, 169, 408… sind durch Pₙ = 2Pₙ₋₁ + Pₙ₋₂ definiert. Ihre Quotienten konvergieren gegen δₛ, genauso wie Fibonacci-Quotienten gegen φ konvergieren. Das silberne Verhältnis bestimmt das regelmäßige Achteck, denn das Verhältnis einer bestimmten Diagonale zur Seitenlänge ist genau δₛ. Außerdem erscheint es in Ammann-Beenker-Quasikristallpflasterungen.
Die rote Diagonale verbindet Ecken mit Abstand drei, die grüne Strecke ist eine Seitenkante. Ihr Verhältnis ist genau 1 + √2 ≈ 2,414, also das silberne Verhältnis. Das ist das Achteck-Analogon zur goldenen Diagonale im Fünfeck.
Das silberne Verhältnis besitzt Selbstähnlichkeit: δₛ = 2 + 1/δₛ = 2 + 1/(2 + 1/(2 + ⋯)). Entfernt man aus einem δₛ × 1-Rechteck zwei Einheitsquadrate, bleibt ein kleineres Rechteck mit denselben Proportionen übrig. Die A-Papier-Reihe verwendet √2, also δₛ - 1, damit beim Halbieren das Seitenverhältnis erhalten bleibt. Wert: 2,41421356237309504880168872…
A0, A1, A2… jedes Blatt ist halb so groß wie das vorherige. Das Verhältnis 1:√2 ist das einzige, das beim Halbieren erhalten bleibt. Faltet man ein Blatt im Verhältnis 1:√2, erhält man wieder dieselben Proportionen, nur gedreht. Weil √2 = δₛ - 1 ist, ist die Papierreihe direkt mit dem silbernen Verhältnis verbunden.