Die Riemannsche Zetafunktion ist ζ(s) = 1 + 1/2ˢ + 1/3ˢ + 1/4ˢ + ⋯ Euler untersuchte die reelle Version und fand ζ(2) = π²/6, also das Basler Problem, sowie die Produktformel ζ(s) = ∏ 1/(1-p⁻ˢ) über alle Primzahlen. Riemann erweiterte die Funktion in seiner berühmten Arbeit von 1859 auf komplexe Zahlen.
Tabelle von Zetafunktionswerten an ausgewählten ganzen Zahlen.
| s | ζ(s) | exakte Form |
|---|---|---|
| 2 | 1,64493… | π²/6 |
| 3 | 1,20206… | unbekannt, Apéry |
| 4 | 1,08232… | π⁴/90 |
| 6 | 1,01734… | π⁶/945 |
| -2,-4,… | 0 | triviale Nullstellen |
Riemanns entscheidende Einsicht war, ζ(s) auf komplexe Werte s zu erweitern. Die nichttrivialen Nullstellen, also Punkte mit ζ(s) = 0 und 0 < Re(s) < 1, steuern die Verteilung der Primzahlen. Jede Nullstelle trägt eine Oszillation zur Primzahlzählfunktion bei. Riemann vermutete 1859, dass alle nichttrivialen Nullstellen auf der Geraden Re(s) = 1/2 liegen. Das ist die Riemannsche Vermutung.
Über 10 Billionen nichttrivialer Nullstellen wurden bereits auf der Geraden Re(s) = 1/2 überprüft. Ein Gegenbeispiel ist nie gefunden worden. Das Clay Mathematics Institute bietet 1 Million Dollar für einen Beweis oder Gegenbeweis. Ein Beweis würde die bestmögliche Abschätzung für Fehler in der Primzahlverteilung liefern. Die Riemannsche Vermutung ist seit 165 Jahren unbewiesen.
Die Riemannsche Zetafunktion erfüllt eine Symmetrie: zeta(s) = 2^s * pi^(s-1) * sin(pi*s/2) * Gamma(1-s) * zeta(1-s). Dadurch lässt sich zeta auf alle komplexen Zahlen s außer s = 1 fortsetzen und der Wert bei s wird mit dem bei 1-s verknüpft. Das zeigt, dass nichttriviale Nullstellen paarweise auftreten: Ist s eine Nullstelle, dann auch 1-s. Die trivialen Nullstellen bei s = -2, -4, -6, ... stammen vom Faktor sin(pi*s/2).
Die Riemannsche Zetafunktion ist zeta(s) = 1 + 1/2^s + 1/3^s + ... Euler berechnete ihre Werte an geraden ganzen Zahlen, etwa zeta(2) = pi^2/6 und zeta(4) = pi^4/90. Riemann erweiterte sie 1859 auf komplexe s und vermutete, dass alle nichttrivialen Nullstellen auf Re(s) = 1/2 liegen. Diese Riemannsche Vermutung ist seit 165 Jahren ungelöst und gehört zu den Millennium-Problemen mit 1 Million Dollar Preisgeld. Über 10 Billionen Nullstellen wurden auf der kritischen Geraden verifiziert. Die Nullstellen steuern die Verteilung der Primzahlen, jede von ihnen erzeugt eine Oszillation in der Primzahlzählfunktion.