Die harmonische Reihe ist die Summe aller Stammbrüche. Jedes Glied 1/n geht gegen null, was nahelegt, dass die Summe konvergieren könnte, doch das tut sie nicht. Der Beweis benutzt Gruppierung: 1/3+1/4 > 1/2, dann 1/5+1/6+1/7+1/8 > 1/2, und jede solche Gruppe trägt mindestens 1/2 bei. Deshalb übersteigt die Summe jede Schranke. Trotzdem divergiert sie außergewöhnlich langsam: Um eine Partialsumme von 100 zu erreichen, braucht man mehr Glieder als es Atome im beobachtbaren Universum gibt.
H(n) und ln(n) wachsen gemeinsam und unterscheiden sich immer ungefähr um γ ≈ 0,5772. Beide divergieren: Um H(n) = 100 zu erreichen, braucht man etwa 10^43 Glieder.
Für H(n)=100 werden ungefähr 10^43 Glieder benötigt. Das sind mehr als Atome im beobachtbaren Universum.
Die harmonische Reihe 1 + 1/2 + 1/3 + ... divergiert. Nicole Oresme bewies dies um 1350. Obwohl jedes Glied gegen null geht, wächst die Summe über jede Schranke hinaus. Die Partialsummen wachsen wie ln(n) + gamma, wobei gamma ≈ 0,5772 die Euler-Mascheroni-Konstante ist. Nach einer Million Gliedern beträgt die Summe erst ungefähr 14. Um 100 zu erreichen, braucht man mehr als 10^43 Glieder. Die alternierende Reihe 1 - 1/2 + 1/3 - ... konvergiert dagegen gegen ln 2.