Eine Zahl ist transzendent, wenn sie keine Wurzel irgendeiner Polynomgleichung mit ganzzahligen Koeffizienten ist. π erfüllt keine Gleichung wie x^2 - 3x + 1 = 0. e erfüllt ebenfalls keine solche Gleichung. Diese Zahlen liegen außerhalb der Reichweite der Algebra. Obwohl sie schwer explizit zu benennen sind, sind transzendente Zahlen eher die Regel als die Ausnahme. Fast jede reelle Zahl ist transzendent.
Jede rationale Zahl ist algebraisch. Jede algebraische Zahl ist reell. Aber die transzendenten Zahlen außerhalb des algebraischen Rings sind viel zahlreicher als alle algebraischen zusammen.
Von Liouvilles künstlicher Konstruktion aus dem Jahr 1844 bis zum Satz von Gelfond und Schneider 1934 wuchs die Transzendenztheorie von einer Kuriosität zu einem wichtigen Teilgebiet der Zahlentheorie.
Tabelle algebraischer Zahlen mit ihren Minimalpolynomen gegenüber transzendenten Zahlen ohne ein solches Polynom.
| ZAHL | MINIMALPOLYNOM |
|---|---|
| √2 = 1,41421... | x^2 - 2 = 0 |
| φ = 1,61803... | x^2 - x - 1 = 0 |
| ∛5 = 1,70997... | x^3 - 5 = 0 |
| i = √(-1) | x^2 + 1 = 0 |
| π = 3,14159... | kein Polynom existiert |
| e = 2,71828... | kein Polynom existiert |
| e^π = 23,1406... | kein Polynom existiert |
Eine Zahl ist transzendent, wenn sie keine Polynomgleichung mit ganzzahligen Koeffizienten erfüllt. Liouville gab 1844 das erste explizite Beispiel an. Hermite bewies 1873, dass e transzendent ist. Lindemann bewies 1882 die Transzendenz von π und zeigte damit endgültig, dass die antike Quadratur des Kreises unmöglich ist. Der Satz von Gelfond und Schneider aus dem Jahr 1934 besagt, dass a^b transzendent ist, wenn a algebraisch und weder 0 noch 1 ist und b algebraisch und irrational. Obwohl transzendente Zahlen die Regel sind, bleibt es extrem schwierig, für eine konkrete Zahl ihre Transzendenz zu beweisen.