ζ(3) ist der Wert der Riemannschen Zetafunktion an der Stelle 3, also die Summe von 1/n³ über alle positiven ganzen Zahlen. Für gerade Argumente fand Euler schöne geschlossene Formen: ζ(2) = π²/6, ζ(4) = π⁴/90, ζ(6) = π⁶/945. Für ungerade Argumente gibt es keine solche Formel. Ob ζ(3) überhaupt π enthält, ist unbekannt.
z(3) liegt zwischen zwei Werten mit bekannten geschlossenen Formen, die π enthalten. Ob z(3) selbst π enthält, ist weiterhin unbekannt.
1978 verkündete Roger Apéry einen Beweis dafür, dass ζ(3) irrational ist. Das Publikum war skeptisch. Henri Cohen und andere Mathematiker eilten nach Hause, um den Beweis über Nacht auf Computern zu überprüfen. Am nächsten Morgen bestätigten sie, dass er korrekt war. „Es war wie ein Donnerschlag aus heiterem Himmel“, sagte ein Teilnehmer. Apéry war 64 Jahre alt.
Die Partialsummen 1 + 1/8 + 1/27 + 1/64... nähern sich ζ(3) ≈ 1,20206 von unten. Die Konvergenz ist langsam: Selbst bei n=50 liegt die Summe noch um 0,003 daneben.
Ob sich ζ(3) durch π ausdrücken lässt, ist die große offene Frage. Alle geraden Zetawerte sind rationale Vielfache der entsprechenden Potenz von π. Die ungeraden Zetawerte scheinen in einer anderen Welt zu leben. Von unendlich vielen ungeraden Werten ζ(2n+1) weiß man, dass sie irrational sind (Rivoal, 2000), doch das genaue Muster bleibt rätselhaft. Voller Wert: 1,20205690315959428539973816151144999…
ζ(2k) = rationale Zahl × π^(2k) für alle geraden k. Euler bewies das für alle geraden Werte. Aber ζ(3), ζ(5), ζ(7)... sind völlig anders. ζ(3) ist irrational (Apéry), aber keine Beziehung zu π ist bekannt. Es könnte tatsächlich unabhängig von π sein.
Tabelle mit Zetawerten an geraden Stellen als π-Formeln und ungeraden Stellen als offenem Rätsel.
| Gerade s: exakte Formeln | Ungerade s: Rätsel |
|---|---|
| ζ(2) = π²/6 | ζ(3) = 1,20206... |
| ζ(4) = π⁴/90 | irrational (Apéry 1978) |
| ζ(6) = π⁶/945 | ζ(5) = 1,03693... |
| ζ(8) = π⁸/9450 | irrational? unbekannt |
| Alle = rational × π^s | Keine bekannte π-Verbindung |
Unbekannt. Roger Apéry bewies 1978, dass zeta(3) irrational ist, aber ob die Zahl transzendent ist, bleibt ein offenes Problem. Man vermutet es weithin, doch ein Beweis fehlt.
In der Quantenelektrodynamik, etwa bei Korrekturen des magnetischen Moments des Elektrons, in der Random-Matrix-Theorie und bei der Entropie eines zweidimensionalen Ising-Modells. Außerdem erscheint sie in der Fermi-Dirac- und der Bose-Einstein-Verteilung der statistischen Mechanik.
Ramanujan fand schnell konvergierende Reihen für zeta(3), darunter eine Formel mit 7π³/180 und Summen über Exponentialterme. Seine Notizbücher enthielten Dutzende Identitäten zu zeta(3), von denen die meisten erst Jahrzehnte nach seinem Tod bewiesen wurden.
Das sind ganze Zahlen A(n) = Summe über k von C(n,k)^2 C(n+k,k)^2, die in Apérys Irrationalitätsbeweis auftreten. Die ersten sind 1, 5, 73, 1445 und 33001. Sie erfüllen eine Rekursionsformel und wachsen so, dass sich in Partialsummen von 1/n^3 bestimmte Faktoren in den Nennern wegheben, was die Irrationalität des Grenzwerts erzwingt.
Apérys Konstante ζ(3) ist die Summe 1 + 1/8 + 1/27 + 1/64 + ... = 1,20205690315959. Für gerade Werte von s fand Euler geschlossene Formen mit π, etwa ζ(2) = π²/6 und ζ(4) = π⁴/90. Für ungerade Werte ist keine solche Formel bekannt. Roger Apéry bewies 1978 im Alter von 64 Jahren, dass ζ(3) irrational ist. Ob ζ(3) transzendent ist oder sich durch π ausdrücken lässt, ist weiterhin offen.