e ist die einzige Zahl, für die die Funktion eˣ ihre eigene Ableitung ist. Beginnt man mit einem beliebigen Betrag und lässt ihn kontinuierlich mit 100 Prozent pro Jahr wachsen, besitzt man nach genau einem Jahr e-mal so viel wie am Anfang. Keine andere Basis hat diese selbstbezügliche Eigenschaft.
Mit wachsendem n nähert sich die Folge e von unten und konvergiert gegen 2,71828182845904…
Tabelle mit den Werten von (1+1/n)^n, die gegen e konvergieren.
| n | (1 + 1/n)ⁿ | Abstand zu e |
|---|---|---|
| 1 | 2,000000 | 0,71828 |
| 10 | 2,593742 | 0,12454 |
| 100 | 2,704814 | 0,01347 |
| 1 000 | 2,716924 | 0,00136 |
| 1 000 000 | 2,718281 | 0,0000014 |
| ∞ | 2,71828… | 0 |
Die Zinseszins-Interpretation lautet: Zahlt eine Bank 100 Prozent Jahreszins und schreibt n-mal pro Jahr gut, wächst das Guthaben um den Faktor (1 + 1/n)ⁿ. Monatliche Verzinsung ergibt 2,613. Verzinsung in jeder Sekunde ergibt 2,718. Kontinuierliche Verzinsung ergibt exakt e.
Bei x=1 sind sowohl die Höhe der Kurve als auch die Steigung der Tangente gleich e ≈ 2,718. Keine andere Basis b^x besitzt diese Eigenschaft.
Jacob Bernoulli entdeckte e 1683 beim Studium des Zinseszinses. Euler bezeichnete die Zahl 1731 mit e. Sie ist irrational (Euler, 1737) und transzendent (Hermite, 1873). Ihre Dezimalentwicklung 2,71828182845904523536… wiederholt sich nie.
Ausgehend von 1 Euro bei 100 Prozent Jahreszins: monatliche Verzinsung ergibt 2,613, tägliche 2,714, jede Sekunde 2,718. Der Grenzwert für n→∞ ist exakt e.
e ist ungefähr 2,71828182845904523536. Es ist die einzige Zahl, für die e^x an jedem Punkt gleich ihrer eigenen Ableitung ist. Jacob Bernoulli entdeckte sie 1683 beim Studium des Zinseszinses. Leonhard Euler gab ihr um 1731 den Namen e. e ist irrational (Euler, 1737) und transzendent (Hermite, 1873). Sie erscheint bei stetigem Wachstum und Zerfall, in natürlichen Logarithmen, in der Normalverteilung, im Zinseszins, beim radioaktiven Zerfall und in Eulers Identität e^(i*pi) + 1 = 0.
Eulers Identität · Ln2 · Taylorreihen
Euler's Number e is irrational. Its decimal expansion never ends and never repeats. Every digit shown below is computed from the taylor series.