Eine Zahl ist irrational, wenn sie sich nicht als Bruch p/q mit ganzen Zahlen p und q darstellen lässt. Ihre Dezimalentwicklung endet nie und wiederholt sich nie periodisch. √2, π, e und φ sind alle irrational. Sie sind keine Ausnahmen oder Kuriositäten, sondern die überwältigende Mehrheit aller reellen Zahlen.
Blau: rationale Zahlen, also exakte Brüche. Rot: irrationale Zahlen, also nicht periodische Dezimalzahlen. Zwischen zwei rationalen Zahlen liegt immer eine irrationale und umgekehrt.
Vergleich rationaler Zahlen mit endlichen oder periodischen Dezimalentwicklungen und irrationaler Zahlen mit unendlichen, nicht periodischen Dezimalentwicklungen.
| RATIONAL: endet oder wiederholt sich | IRRATIONAL: wiederholt sich nie |
|---|---|
| 1/4 = 0,25000... | √2 = 1,4142135... |
| endet | kein Muster, niemals |
| 1/3 = 0,3333... | π = 3,1415926... |
| periodischer Block: {3} | kein Muster, niemals |
| 22/7 = 3,142857... | e = 2,7182818... |
| periodischer Block: {142857} | kein Muster, niemals |
| 5/11 = 0,454545... | φ = 1,6180339... |
| periodischer Block: {45} | kein Muster, niemals |
Die rationalen Zahlen sind trotz ihrer Unendlichkeit aufzählbar. Die irrationalen Zahlen sind nicht aufzählbar. Wählt man eine reelle Zahl zufällig, so ist die Wahrscheinlichkeit, dass sie rational ist, genau null.
Eine Zahl ist irrational, wenn sie sich nicht als Bruch p/q mit ganzen Zahlen p und q schreiben lässt. Ihre Dezimalentwicklung endet nie und wiederholt sich nie periodisch. Die Pythagoreer bewiesen um 500 v. Chr., dass √2 irrational ist, was damals ein Schock war. π wurde 1761 von Lambert als irrational bewiesen, e 1737 von Euler. Die meisten reellen Zahlen sind irrational: Die rationalen Zahlen sind zwar abzählbar unendlich, die irrationalen aber überabzählbar, daher erhält man mit Wahrscheinlichkeit 1 eine irrationale Zahl, wenn man eine reelle Zahl zufällig auswählt. Algebraische irrationale Zahlen erfüllen eine Polynomgleichung, transzendente nicht.