Der Satz von de Moivre besagt, dass das Erheben eines Punkts auf dem Einheitskreis in die n-te Potenz einfach seinen Winkel mit n multipliziert. Beginnt man bei Winkel θ und wendet die Operation n-mal an, landet man bei Winkel nθ. Das ist das geometrische Herz der Arithmetik komplexer Zahlen.
Ausgehend von einem Winkel θ=40° auf dem Einheitskreis. Quadrieren verdoppelt den Winkel auf 80° (grün), Kubieren verdreifacht ihn auf 120° (rot). Der Punkt rotiert nur, sein Abstand vom Ursprung bleibt 1.
Der Satz folgt unmittelbar aus Eulers Formel e^(iθ) = cosθ + i sinθ. Hebt man beide Seiten in die n-te Potenz, erhält man (e^(iθ))ⁿ = e^(inθ) = cos(nθ) + i sin(nθ). De Moivre formulierte sein Resultat 1707, also 41 Jahre bevor Euler die Formel veröffentlichte, wodurch der Beweis eher wie Magie als wie Mechanik wirkt.
Die sechsten Einheitswurzeln bilden auf dem Einheitskreis ein regelmäßiges Sechseck. Die n-ten Lösungen von z^n = 1 bilden immer ein regelmäßiges n-Eck mit gleichen Winkelabständen 2πk/n = τk/n.
Der Satz von de Moivre ist das Schlüsselinstrument zum Berechnen von Potenzen und Wurzeln komplexer Zahlen, zum Herleiten von Mehrfachwinkelformeln wie cos 3θ = 4cos³θ - 3cosθ und zum Finden der n gleichmäßig verteilten n-ten Wurzeln jeder komplexen Zahl. Er verbindet die Algebra komplexer Zahlen mit der Geometrie der Rotation.
Beim Multiplizieren zweier komplexer Zahlen addieren sich ihre Winkel und ihre Beträge multiplizieren sich. Liegen beide Zahlen auf dem Einheitskreis, also mit Betrag 1, ändert sich nur der Winkel. n-maliges Multiplizieren addiert den Winkel n-mal. Genau das ist der Satz von de Moivre.
Der Satz von de Moivre zeigt, dass cos(n*theta) immer als Polynom in cos(theta) geschrieben werden kann. Das sind die Chebyshev-Polynome T_n: T_n(cos theta) = cos(n*theta). Zum Beispiel gilt cos(2*theta) = 2*cos^2(theta) - 1, also T_2(x) = 2x^2 - 1. Sie treten in der numerischen Analysis, im Filterdesign und in der Approximationstheorie auf.
Eulers Identität · Komplexe Zahlen · Pythagoras