Die Erdős-Borwein-Konstante E ist die Summe 1/(2¹−1) + 1/(2²−1) + 1/(2³−1) + ⋯ = 1/1 + 1/3 + 1/7 + 1/15 + 1/31 + ⋯. Die Nenner sind die Mersenne-Zahlen 2ⁿ − 1. Paul Erdős bewies 1948 mit rein elementaren Eigenschaften von Binärdarstellungen, dass E irrational ist.
Die Partialsummen konvergieren schnell gegen E ≈ 1,6066951524. Die Nenner 2^n−1 wachsen geometrisch, wodurch die Konvergenz viel schneller ist als beim Basler Problem.
Die Reihe konvergiert geometrisch schnell: Jedes Glied ist ungefähr halb so groß wie das vorherige, denn 2ⁿ − 1 ≈ 2ⁿ für große n. Schon nach 20 Gliedern ist die Summe auf 6 Dezimalstellen genau. Die Äquivalenz E = Σ d(n)/2ⁿ, wobei d(n) die ungeraden Teiler von n zählt, verbindet die Konstante mit der Teilbarkeitstheorie.
Ob E transzendent ist, ist offen. Bemerkenswert an Erdős' Irrationalitätsbeweis ist seine Sparsamkeit: Er nutzte, dass die Binärdarstellungen der Nenner 1, 3, 7, 15, 31… also 1, 11, 111, 1111, 11111, eine besondere Struktur haben, die verhindert, dass die Summe rational sein kann. Der Wert lautet 1,60669515245214159769492939967985…
Jeder Nenner 2^n - 1 ist ungefähr doppelt so groß wie der vorherige. Die Summe konvergiert gegen E ~1,6066951524.
Primzahlen · Ln2 · Champernowne
Die Erdős-Borwein-Konstante E = 1/1 + 1/3 + 1/7 + 1/15 + ... ≈ 1,60669. Paul Erdős bewies 1948 ihre Irrationalität mit binären Eigenschaften der Nenner 2^n - 1. Sie ist gleich der Summe d(n)/2^n, wobei d(n) die ungeraden Teiler von n zählt. Die Reihe konvergiert schnell: Jedes Glied ist ungefähr halb so groß wie das vorige. Ob E transzendent ist, ist unbekannt. Wert: 1,60669515245214159769492939967985...