হারমোনিক ধারা 1 + 1/2 + 1/3 + 1/4 + ⋯ অপসারী, কিন্তু অত্যন্ত ধীরে বাড়ে। এক মিলিয়ন পদ নিলেও এর মান কেবল প্রায় 14 হয়। প্রাকৃতিক লগারিদম ln(n) একই হারে বাড়ে। ইউলার-মাসকেরোনি ধ্রুবক γ হলো এদের মধ্যে সুনির্দিষ্ট ব্যবধান: γ = lim (1 + 1/2 + 1/3 + ⋯ + 1/n) - ln(n)।
হারমোনিক যোগফল ও ln(n)-এর পার্থক্য n → ∞ হলে γ ≈ 0.5772-এর দিকে যায়। অভিসৃতি খুব ধীর — n = 1000 হলেও ব্যবধান এখনো 0.001।
γ বিশ্লেষণ ও সংখ্যা তত্ত্বজুড়ে দেখা যায়। এটি হারমোনিক ধারাকে রিমান জিটা ফাংশনের সঙ্গে যুক্ত করে: আনুষ্ঠানিক অর্থে γ = -ζ'(1)। এটি Gamma function-এ Γ'(1) = -γ, মৌলিক সংখ্যার ফাঁকের বণ্টনে, Bessel function-এ এবং digamma function-এর asymptotic expansion-এ দেখা যায়।
γ মূলদ না অমূলদ—এটি গণিতের প্রাচীনতম উন্মুক্ত সমস্যাগুলোর একটি। প্রায় সব গণিতবিদই মনে করেন এটি অতীন্দ্রিয়, কিন্তু কোনো প্রমাণ নেই। 600 বিলিয়নেরও বেশি দশমিক স্থান পর্যন্ত এটি গণনা করা হয়েছে: 0.57721566490153286060651209008240243…
হারমোনিক আংশিক যোগফল H(n) (লাল, ধাপযুক্ত) এবং ln(n)+γ (নীল, মসৃণ)-এর তুলনা। এদের ব্যবধান 0-এর দিকে যায়, কিন্তু ওঠানামা করে: H(n)−ln(n) → γ।
ইউলার-মাসকেরোনি ধ্রুবক gamma-এর মান প্রায় 0.57721566490153286060। এটি মূলদ না অমূলদ, তা অজানা—এটি গণিতের সবচেয়ে বিখ্যাত উন্মুক্ত সমস্যাগুলোর একটি। ইউলার 1734 সালে প্রথম এটি প্রকাশ করেন; মাসকেরোনি 1790 সালে স্বাধীনভাবে এটি গণনা করেন। Gamma function, Riemann zeta function, prime product-এর উপর Mertens theorem, Bessel function এবং prime gap-এর বণ্টনে gamma দেখা যায়। streaming algorithm না থাকায় এর অঙ্কগুলো আগেভাগে গণনা করে সংরক্ষণ করা হয়।
Euler-Mascheroni Constant γ is irrational. Its decimal expansion never ends and never repeats. Every digit shown below is computed from the harmonic-logarithm limit.