দ্য মোয়াভরের উপপাদ্য বলে: একক বৃত্তের উপর কোনো বিন্দুকে n-তম ঘাতে তুললে তার কোণ n গুণ হয়ে যায়। যদি θ কোণে শুরু করেন এবং একই ক্রিয়াটি n বার প্রয়োগ করেন, তাহলে শেষ পর্যন্ত আপনি nθ কোণে পৌঁছাবেন। এটাই জটিল সংখ্যার গাণিতিক জ্যামিতির কেন্দ্রবিন্দু।
একক বৃত্তে θ=40° কোণে শুরু করা হয়েছে। বর্গ করলে কোণ 80° (সবুজ), ঘন করলে 120° (লাল)। বিন্দুটি শুধু ঘোরে; মূলবিন্দু থেকে দূরত্ব 1-ই থাকে।
এই উপপাদ্যটি ইউলারের সূত্র e^(iθ) = cosθ + i sinθ থেকে তৎক্ষণাৎ আসে। উভয় পাশে n-তম ঘাত নিলে: (e^(iθ))ⁿ = e^(inθ) = cos(nθ) + i sin(nθ)। দ্য মোয়াভর 1707 সালে ফলটি প্রকাশ করেন, যা ইউলার সূত্র প্রকাশের 41 বছর আগে; তাই তখন এই প্রমাণটি যেন জাদুর মতো মনে হতো।
6-তম roots of unity একক বৃত্তে একটি সুষম ষড়ভুজ গঠন করে। z^n = 1-এর n-তম মূলগুলো সবসময় 2πk/n = τk/n কোণে সমদূরত্বে অবস্থিত একটি সুষম n-ভুজ গঠন করে।
দ্য মোয়াভরের উপপাদ্য জটিল সংখ্যার ঘাত ও মূল গণনা, multiple-angle formula (যেমন cos 3θ = 4cos³θ - 3cosθ) বের করা, এবং যেকোনো জটিল সংখ্যার nটি সমদূরবর্তী n-তম মূল খুঁজে পাওয়ার প্রধান হাতিয়ার। এটি জটিল সংখ্যার বীজগণিতকে ঘূর্ণনের জ্যামিতির সঙ্গে যুক্ত করে।
দুটি জটিল সংখ্যাকে গুণ করলে তাদের কোণ (argument) যোগ হয় এবং তাদের মান (modulus) গুণিত হয়। যদি উভয়ই একক বৃত্তে থাকে, তবে শুধু কোণ বদলায়। n বার গুণ করলে কোণ n বার যোগ হয়—এটাই দ্য মোয়াভরের উপপাদ্য।
দ্য মোয়াভরের উপপাদ্য দেখায় যে cos(n*theta) সবসময় cos(theta)-এর একটি বহুপদী হিসেবে লেখা যায়। এগুলোই Chebyshev polynomial T_n: T_n(cos theta) = cos(n*theta)। উদাহরণস্বরূপ, cos(2*theta) = 2*cos^2(theta) - 1, তাই T_2(x) = 2x^2 - 1। এগুলো numerical analysis, filter design এবং approximation theory-তে ব্যবহৃত হয়।