φ (ফাই) হলো x² = x + 1 সমীকরণের ধনাত্মক সমাধান। এর একটি জ্যামিতিক অর্থ আছে: যদি কোনো রেখাখণ্ডকে এমনভাবে ভাগ করা হয় যাতে পুরো অংশের সঙ্গে বড় অংশের অনুপাত বড় অংশের সঙ্গে ছোট অংশের অনুপাতের সমান হয়, তবে সেই অনুপাতই φ। তাই একে “স্বর্ণ অনুপাত” বলা হয়।
ফিবোনাচ্চি অনুপাতগুলোর φ-এর দিকে ধাবিত হওয়ার সারণি
| Fib-Paar | Quotient | Abstand zu φ |
|---|---|---|
| 1, 1 | 1,000 | 0,618 |
| 2, 3 | 1,500 | 0,118 |
| 8, 13 | 1,625 | 0,007 |
| 55, 89 | 1,61818… | 0,00015 |
| → ∞ | 1,61803… | 0 |
স্বর্ণ অনুপাত নিয়মিত পঞ্চভুজ ও পেন্টাগ্রামে দেখা যায়, যেখানে কর্ণগুলো পরস্পরকে φ অনুপাতে ছেদ করে। প্রতিটি ফিবোনাচ্চি সংখ্যাকে আগের সংখ্যায় ভাগ করলে মানটি ধীরে ধীরে φ-এর দিকে যায়। এই কারণেই φ সংখ্যা-তত্ত্ব, জ্যামিতি এবং নকশা—তিন ক্ষেত্রেই বারবার ফিরে আসে।
একটি স্বর্ণ আয়তক্ষেত্র থেকে একটি বর্গ কাটলে বাকি অংশটিও আরেকটি স্বর্ণ আয়তক্ষেত্র হয়, যা 1/φ গুণ ছোট। এই প্রক্রিয়া বারবার করলে চাপটি স্বর্ণ সর্পিল আঁকে।
φ সমীকরণ φ² = φ + 1 পূরণ করে, তাই φ = 1 + 1/φ। এটি বারবার প্রতিস্থাপন করলে পাই φ = 1 + 1/(1 + 1/(1 + …))। সবগুলো 1 দিয়ে গঠিত এই অসীম ধারাবাহিক ভগ্নাংশই φ-এর সংজ্ঞা এবং কেন তাকে “সবচেয়ে অমূলদ” সংখ্যা বলা হয়, তারও কারণ।
বাহু 1 বিশিষ্ট নিয়মিত পঞ্চভুজে প্রতিটি কর্ণের দৈর্ঘ্য φ ≈ 1.618। কর্ণগুলো পরস্পরকেও স্বর্ণ অনুপাতে ভাগ করে। সব পাঁচটি কর্ণ আঁকলে একটি পেন্টাগ্রাম তৈরি হয়।
স্বর্ণ অনুপাত φ ≈ 1.61803398874989484820। এটি x² = x + 1 সমীকরণের ধনাত্মক সমাধান। φ অমূলদ, বীজগাণিতিক এবং নিয়মিত পঞ্চভুজ, ফিবোনাচ্চি অনুপাত ও স্বর্ণ আয়তক্ষেত্রে দেখা যায়। এর ধারাবাহিক ভগ্নাংশ [1; 1, 1, 1, …]।
স্বর্ণ অনুপাত φ is irrational. Its decimal expansion never ends and never repeats. Every digit shown below is computed from the দ্বিঘাত সূত্র.