একটি জটিল সংখ্যার দুটি অংশ থাকে: একটি বাস্তব অংশ এবং একটি কাল্পনিক অংশ। কাল্পনিক একক i-এর জন্য i² = -1। প্রতিটি বাস্তব সংখ্যাই b = 0 হলে একটি জটিল সংখ্যা। জটিল সংখ্যা 1D সরলরেখার বদলে একটি 2D সমতল পূরণ করে, ফলে প্রতিটি বহুপদী সমীকরণের ডিগ্রির সমান সংখ্যক শিকড় পাওয়া যায়।
i দ্বারা গুণ করা মানে 90 ডিগ্রি বিপরীত-ঘড়ির কাঁটার দিকে ঘোরানো। i দ্বারা দুইবার (অর্থাৎ i² দ্বারা) গুণ করলে 180 ডিগ্রি ঘূর্ণন হয়, ফলে 1, -1-এ যায়। তাই i² = -1 কোনো বীজগাণিতিক কৌশল নয়; এটি একটি ঘূর্ণন।
বাস্তব সংখ্যার উপর x²+1=0-এর কোনো সমাধান নেই। জটিল সংখ্যার উপর এর দুটি সমাধান আছে: i এবং -i। বীজগণিতের মৌলিক উপপাদ্য বলে: জটিল সংখ্যায় প্রসারিত করলে n ডিগ্রির প্রতিটি বহুপদীর ঠিক nটি শিকড় থাকে।
বাস্তব সংখ্যার উপর ও জটিল সংখ্যার উপর বহুপদীর আচরণের তুলনামূলক সারণি। এখানে দেখা যায় যে n ডিগ্রির প্রতিটি বহুপদীর ঠিক nটি জটিল শিকড় আছে।
| বহুপদী | বাস্তব শিকড় | জটিল |
|---|---|---|
| x - 3 = 0 | 1 (x=3) | 1 |
| x² - 4 = 0 | 2 (±2) | 2 |
| x² + 1 = 0 | 0 বাস্তব শিকড় | 2 (±i) |
| x³ - 1 = 0 | 1 বাস্তব শিকড় | 3 |
| x⁴ + 4 = 0 | 0 বাস্তব শিকড় | 4 |
| n ডিগ্রির প্রতিটি বহুপদীর ঠিক nটি জটিল শিকড় আছে, multiplicity গুনে |
i² = -1 শর্তযুক্ত i-কে যুক্ত করে জটিল সংখ্যা বাস্তব সরলরেখাকে 2D সমতলে প্রসারিত করে। প্রতিটি জটিল সংখ্যা z = a + bi-এর বাস্তব অংশ a, কাল্পনিক অংশ b, modulus |z| = sqrt(a² + b²), এবং argument arg(z) = atan(b/a) থাকে। e^(i*theta) দ্বারা গুণ করলে theta রেডিয়ান ঘূর্ণন হয়। বীজগণিতের মৌলিক উপপাদ্য বলে n ডিগ্রির প্রতিটি বহুপদীর ঠিক nটি জটিল শিকড় থাকে, multiplicity গুনে। জটিল সংখ্যা কোয়ান্টাম বলবিদ্যা, সিগন্যাল প্রসেসিং এবং ইউলারের পরিচয়ের ভিত্তি।