π(n) দ্বারা n পর্যন্ত মৌলিক সংখ্যার সংখ্যা বোঝায়। মৌলিক সংখ্যা উপপাদ্য বলে যে π(n)-এর বৃদ্ধি n/ln(n)-এর মতো। n যত বড় হয়, n-এর আশেপাশে প্রতি ln(n) সংখ্যার মধ্যে আনুমানিক 1টি সংখ্যা মৌলিক হয়। এক মিলিয়নের কাছে এই ঘনত্ব প্রায় প্রতি 14টির মধ্যে 1টি।
π(n) n পর্যন্ত মৌলিক সংখ্যাগুলো গুনে (নীল সিঁড়ি)। উপপাদ্যটি বলে π(n) ~ n/ln(n), অর্থাৎ অনুপাত n → ∞ হলে 1-এর দিকে যায়। logarithmic integral Li(n) আরও ভালো আনুমানিক মান।
Gauss প্রায় 1800 সালের দিকে মৌলিক সংখ্যার সারণি দেখে ফলাফলটি অনুমান করেন। 1896 সালে Jacques Hadamard ও Charles-Jean de la Vallée Poussin স্বাধীনভাবে এটি প্রমাণ করেন; দুজনেই রিমান জিটা ফাংশন ও জটিল বিশ্লেষণ ব্যবহার করেন।
বিভিন্ন স্কেলে মৌলিক সংখ্যার ঘনত্বের সারণি
| n পর্যন্ত | মৌলিক সংখ্যা π(n) | ঘনত্ব ≈ 1/ln(n) |
|---|---|---|
| 1 000 | 168 | প্রতি 7-এ 1 |
| 1 000 000 | 78 498 | প্রতি 14-এ 1 |
| 10⁹ | 50 847 534 | প্রতি 21-এ 1 |
| 10¹² | 37 607 912 018 | প্রতি 28-এ 1 |
রিমান অনুমান সত্য হলে ত্রুটির সবচেয়ে তীক্ষ্ণ সীমা পাওয়া যাবে: |π(n) - Li(n)| ≤ √n · ln(n) / (8π)। এটি ছাড়া আমরা শুধু জানি যে ত্রুটি o(n/ln(n))। এ কারণেই রিমান অনুমান গণিতের সবচেয়ে গুরুত্বপূর্ণ সমস্যাগুলোর একটি।
π(n)-এর জন্য n/ln(n)-এর চেয়েও ভালো আনুমানিক মান হলো logarithmic integral, Li(n) = 2 থেকে n পর্যন্ত dt/ln(t)-এর সমাকলন। Gauss এই ফাংশনটিকেই বেশি পছন্দ করতেন, কারণ এটি বাস্তব তথ্যের সঙ্গে আরও ঘনিষ্ঠভাবে মিলে যায়।