ক্যালকুলাসের মৌলিক উপপাদ্য দুটি আপাতদৃষ্টিতে আলাদা ধারণাকে যুক্ত করে। অংশ 1: একটি নির্দিষ্ট বিন্দু থেকে x পর্যন্ত কোনো ফাংশনকে সমাকলন করলে, সেই সমাকলের অন্তরক আবার আসল ফাংশনই হয়। অংশ 2: a থেকে b পর্যন্ত f-এর নির্দিষ্ট সমাকলন সমান যেকোনো antiderivative F-এর b-তে মান থেকে a-তে মান বিয়োগের।
∫₀² x² dx = [x³/3]₀² = 8/3 − 0 = 8/3 ≈ 2.667। antiderivative F(x) = x³/3 কোনো approximation ছাড়াই সঠিক ক্ষেত্রফল দেয়।
এই উপপাদ্যের আগে ক্ষেত্রফল বের করতে Riemann sum লাগত: অঞ্চলটিকে পাতলা আয়তকে ভাগ করা, সবগুলো যোগ করা, তারপর সীমা নেওয়া। FTC এই পুরো প্রক্রিয়াকে একটি বিয়োগে নামিয়ে আনে। নিউটন 1666 সালের মধ্যে বিষয়টি বুঝেছিলেন, আর লাইবনিজ 1675 সালে স্বাধীনভাবে একই ধারণা পান। অগ্রাধিকারের বিরোধে এক প্রজন্ম ধরে ইউরোপীয় ও ব্রিটিশ গণিত বিভক্ত ছিল।
ক্যালকুলাস কোর্সে শেখানো প্রায় প্রতিটি সমাকলনে অংশ 2 ব্যবহৃত হয়: একটি antiderivative খুঁজে নাও, সীমান্তবিন্দুতে মান বসাও, বিয়োগ করো। এটি কাজ করে কারণ অন্তরকরণ ও সমাকলন একে অপরের নিখুঁত বিপরীত। এটি গণিতের অন্যতম গভীর ও কার্যকর ফল।
8টি আয়তক্ষেত্রের Riemann sum ≈ 0.273 দেয়। সঠিক উত্তর 8/3 ≈ 2.667। মৌলিক উপপাদ্য কোনো আয়তক্ষেত্র ছাড়াই সঠ িক মান দেয়।
a থেকে b পর্যন্ত স্থানচ্যুতির উপর একটি পরিবর্তনশীল বল F(x) যে কাজ করে, তা W = a থেকে b পর্যন্ত F(x)-এর সমাকলন = P(b) - P(a), যেখানে P হলো সম্ভাব্য শক্তি ফাংশন এবং P' = -F। বেগ সমাকলন করলে স্থানচ্যুতি, বল সমাকলন করলে impulse পাওয়া যায়। অসীম Riemann sum না নিয়ে এই গণনাগুলোকে ব্যবহারযোগ্য করে তোলে FTC।