চার-রঙ উপপাদ্য বলে: সমতলে আঁকা যেকোনো মানচিত্রকে সর্বোচ্চ চারটি রঙে রাঙানো যায়, যেন সীমান্ত ভাগ করা কোনো দুই অঞ্চল একই রঙ না পায়। কেবল একটি বিন্দুতে স্পর্শ করলে তারা একই রঙ পেতে পারে। মানচিত্র যত জটিলই হোক, উপপাদ্যটি প্রযোজ্য।
১, ২, ৩, ৪ অঞ্চল প্রতিটিই একাধিক অন্য অঞ্চলের প্রতিবেশী। বাম পাশের (4) ও ডান পাশের (4) অঞ্চলের মধ্যে কোনো সাধারণ সীমান্ত নেই, তাই তারা একই রঙ পেতে পারে। এখানে সত্যিই 4টি রঙ প্রয়োজন।
1852 সালে ইংল্যান্ডের কাউন্টিগুলোর একটি মানচিত্র রাঙাতে গিয়ে ফ্রান্সিস গাথ্রি উপপাদ্যটি অনুমান করেন। তিনি দেখেছিলেন চারটি রঙ যেন সবসময় যথেষ্ট, কিন্তু প্রমাণ করতে পারেননি। 124 বছর ধরে সমস্যাটি গণিতবিদদের আটকে রেখেছিল। বহু ভুয়া প্রমাণ প্রকাশিত ও খণ্ডিত হয়। পাঁচটি রঙ সবসময় যথেষ্ট—এবং সমতল গ্রাফের জন্য ইউলারের সূত্র ব্যবহার করে হাতে-কলমেই তা প্রমাণ করা যায়।
চার-রঙ উপপাদ্যের অনুমান থেকে প্রমাণ পর্যন্ত 124 বছর লেগেছিল। 1976 সালের প্রমাণটি কম্পিউটার-যাচাইকৃত প্রথম বড় উপপাদ্য।
1976 সালে Kenneth Appel ও Wolfgang Haken-এর প্রমাণ ছিল কম্পিউটার দিয়ে প্রমাণিত প্রথম বড় উপপাদ্য। তারা সব সম্ভাব্য মানচিত্রকে 1,936টি configuration-এ নামিয়ে এনে কম্পিউটার দিয়ে 1,200 ঘণ্টারও বেশি CPU সময়ে প্রতিটিকে যাচাই করান। অনেক গণিতবিদ এমন প্রমাণে অস্বস্তি বোধ করেছিলেন যা সম্পূর্ণ হাতে পরীক্ষা করা যায় না। যদি কোনো মানব-পাঠযোগ্য প্রমাণ থেকে থাকে, তা এখনো আবিষ্কৃত হয়নি।
বাইরের 5টি অঞ্চল (একটি বিজোড় সংখ্যা) রিংটিকে 3টি রঙ ব্যবহার করতে বাধ্য করে: 5-cycle-কে 2 রঙে রাঙানো যায় না। কেন্দ্রের অঞ্চলটি এই পাঁচটির সবার সঙ্গেই লাগোয়া, ফলে রিংয়ের তিনটি রঙই তার প্রতিবেশী; তাই তাকে চতুর্থ একটি রঙ লাগবেই। এতে বোঝা যায় যে কখনো সত্যিই চারটি রঙ প্রয়োজন।
সমতলে আঁকা প্রতিটি মানচিত্রকে সর্বোচ্চ চারটি রঙে রাঙানো যায়, যেন সীমান্ত ভাগ করা কোনো দুই অঞ্চল একই রঙ না পায়। 1852 সালে ফ্রান্সিস গাথ্রি এটি অনুমান করেন। 1976 সালে Appel ও Haken 1,936টি configuration কম্পিউটার দিয়ে যাচাই করে এটি প্রমাণ করেন—এটাই কম্পিউটার-সহায়তায় প্রমাণিত প্রথম বড় উপপাদ্য। 1997 সালে Robertson, Sanders, Seymour ও Thomas-এর সংক্ষিপ্ততর যাচাই এই সংখ্যা 633-এ নামিয়ে আনে। উপপাদ্যটি torus-এ সত্য নয়, যেখানে কখনো সাতটি রঙ লাগতে পারে।