গণিতে পাঁচটি প্রধান সংখ্যা-পদ্ধতি তৈরি হয়েছে, প্রতিটি আগেরটির সম্প্রসারণ। প্রতিটি সম্প্রসারণের পেছনে ছিল একটি অমীমাংসিত সমীকরণ: “3−5 কত?”—এর জন্য দরকার হয় integers; “1/3 কত?”—এর জন্য rationals; “√2 কত?”—এর জন্য reals; “√(-1) কত?”—এর জন্য complex numbers।
সংখ্যা-পদ্ধতি সম্প্রসারণে কোন বৈশিষ্ট্য পাওয়া যায় বা বদলে যায় তার সারণি
| পদ্ধতি | যা পাওয়া যায় | যা হারায় বা বদলে যায় |
|---|---|---|
| N, স্বাভাবিক সংখ্যা | গোনা, +, × | বিয়োগ নেই |
| Z, পূর্ণসংখ্যা | বিয়োগ, ঋণাত্মক সংখ্যা | ভাগ নেই |
| Q, rational সংখ্যা | ভাগ, ভগ্নাংশ | √2 নেই |
| R, বাস্তব সংখ্যা | সব limit, √2, π | √(-1) নেই |
| C, complex সংখ্যা | সব polynomial root | algebraically closed |
| H, quaternion | 3D ঘূর্ণন | ab ≠ ba |
| প্রতিটি সম্প্রসারণই সত্যিকারের বিস্তার, শুধু নাম বদল নয় |
নীল: স্বাভাবিক সংখ্যা ℕ। সবুজ 0 যোগ করে। বেগুনি ঋণাত্মক পূর্ণসংখ্যা ℤ পর্যন্ত বাড়ায়। কমলা ভগ্নাংশ ℚ যোগ করে। লাল: অমূলদ সংখ্যা ℝ-এর বাকি অংশ পূরণ করে।
গণিতে পাঁচটি প্রধান সংখ্যা-পদ্ধতি আছে: natural numbers N (গোনা, কিন্তু বিয়োগ নয়), integers Z (বিয়োগ ও ঋণাত্মক সংখ্যা), rationals Q (ভাগ ও ভগ্নাংশ), reals R (সীমা ও অমূলদ সংখ্যা), এবং complex numbers C (√(-1) যোগ করে)। প্রতিটি সম্প্রসারণ আগের পদ্ধতিতে অসম্ভব একটি সমীকরণ সমাধান করেছে। Complex numbers algebraically closed: প্রতিটি polynomial equation-এর সমাধান C-এর মধ্যে আছে। অন্তর্ভুক্তি কঠোর: N ⊂ Z ⊂ Q ⊂ R ⊂ C, আর transcendentals হলো R-এর সেই অংশ যা polynomial equation মানে না।