n পর্যন্ত সব prime reciprocal-এর যোগফল নিন: 1/2 + 1/3 + 1/5 + 1/7 + ⋯ + 1/p। এটি বাড়ে, কিন্তু অবিশ্বাস্যরকম ধীরে—প্রায় ln(ln(n)) হারে। Meissel–Mertens ধ্রুবক M হলো এই যোগফল ও তার প্রধান পদ ln(ln(n))-এর সূক্ষ্ম ব্যবধান, যেমন Euler–Mascheroni ধ্রুবক γ হলো harmonic series ও ln(n)-এর ব্যবধান।
1737 সালে Euler প্রমাণ করেন যে সব prime reciprocal-এর যোগফল অপসারী। এটি প্রমাণ করা “মৌলিক সংখ্যা অসীমসংখ্যক”—এই তথ্যের চেয়েও কঠিন, এবং prime সংখ্যাগুলো কত ঘন, তার একটি পরিমাণগত চিত্র দেয়। এরপর Mertens-এর theorem বলে Σ(p≤n) 1/p = ln(ln(n)) + M + O(1/log n), ফলে M-কে এই asymptotic expansion-এর নির্দিষ্ট ধ্রুবক পদ হিসেবে পাওয়া যায়।
Euler–Mascheroni ও Meissel–Mertens ধ্রুবকের পাশাপাশি তুলনা
| Euler–Mascheroni γ | Meissel–Mertens M |
|---|---|
| Σ 1/n − ln(n) → 0.5772 | Σ 1/p − ln(ln n) → 0.2615 |
| সব পূর্ণসংখ্যা | শুধু prime সংখ্যা |
M এবং γ সম্পর্কিত: M = γ + Σₚ(ln(1−1/p) + 1/p)। এদের কোনোটি অমূলদ কি না, তা এখনো অজানা। দুটিকেই বিলিয়ন দশমিক পর্যন্ত গণনা করা হয়েছে এবং অনেকের ধারণা এরা অতীন্দ্রিয়, কিন্তু কোনো প্রমাণ নেই। M ≈ 0.261497212847642783755426838608669…
Harmonic sum (নীল): 2.93, 5.19, 7.49, 9.79। Prime reciprocal sum (প্রায় ln(ln(n))+M): একই পয়েন্টে মাত্র 0.84, 1.18, 1.52, 1.85।
Euler–Mascheroni ধ্রুবক γ হলো harmonic series (1 + 1/2 + 1/3 + ... + 1/n) ও ln(n)-এর ব্যবধান। ঠিক একইভাবে Meissel–Mertens ধ্রুবক M হলো prime reciprocal sum (1/2 + 1/3 + 1/5 + ... + 1/p) ও ln(ln(n))-এর ব্যবধান। দুটিই logarithmic হারে বাড়তে থাকা অপসারী ধারার “error correction” ধ্রুবক।
Meissel–Mertens ধ্রুবক M ≈ 0.26149, এবং prime reciprocal-এর জন্য এর ভূমিকা Euler–Mascheroni ধ্রুবকের harmonic series-এর মতোই। 1874 সালে Mertens দেখান যে 1/2 + 1/3 + 1/5 + ... + 1/p = ln(ln(n)) + M + সামান্য ত্রুটি। M অমূলদ কি না, তা অজানা। এটি prime product সম্পর্কে Mertens-এর theorem-এ এবং smooth number-এর density-তেও দেখা যায়। M ও γ-কে সব prime-এর ওপর একটি নির্দিষ্ট sum দিয়ে যুক্ত করা যায়।