e^(−x²) ফাংশনটি একটি ঘণ্টাকৃতি বক্ররেখা: x = 0 হলে এর মান 1, আর দুই দিকে সমমিতভাবে 0-এর দিকে নেমে যায়। সমগ্র বাস্তব সরলরেখা জুড়ে এর নিচের ক্ষেত্রফল ঠিক √π ≈ 1.7724। এটি বিস্ময়কর, কারণ e এবং π—যাদের সাধারণত আলাদা প্রেক্ষাপটে দেখা যায়—সম্ভাবনা তত্ত্বের এই মৌলিক ইন্টেগ্রালে একত্রিত হয়েছে।
সব x জুড়ে e^(−x²)-এর ইন্টেগ্রাল √π ≈ 1.7725। এটিই গাউসীয় ইন্টেগ্রাল। এর একটি মানকীকৃত রূপ standard normal distribution দেয়।
প্রমাণটি গণিতের সবচেয়ে সুন্দর কৌশলগুলোর একটি। ধরা যাক I = ∫e^(−x²)dx। I²-কে x ও y-র ওপর একটি double integral হিসেবে লিখে polar coordinates r, θ-তে রূপান্তর করা হয়। তখন integrand হয় e^(−r²), আর area element হয় r·dr·dθ। এই অতিরিক্ত r-ই ইন্টেগ্রালকে সহজ করে: ∫₀^∞ re^(−r²)dr = 1/2। এরপর ∫₀^(2π) dθ = 2π দিয়ে গুণ করলে I² = π পাওয়া যায়, তাই I = √π।
Normal distribution, central limit theorem, quantum wave function-এর Gaussian packet, এবং factorial-এর Stirling approximation—সবই এই একটিমাত্র ইন্টেগ্রালের ওপর দাঁড়িয়ে আছে। e^(−x²) যেখানে যেখানে integrate করা হয়, সেখানেই √π দেখা দেয়; আর continuous probability-তে এমন জায়গা অত্যন্ত বেশি।
গাউসীয় ইন্টেগ্রাল হলো −∞ থেকে +∞ পর্যন্ত e^(-x^2) dx-এর ইন্টেগ্রাল, যার মান √π। এর মার্জিত প্রমাণে ইন্টেগ্রালটিকে square করে polar coordinates-এ নেওয়া হয় এবং সেখান থেকে সঠিক মান বের করা হয়। Normal distribution-এর probability density (1/√(2π))·e^(-x^2/2) যাতে 1-এ integrate করে, তার পেছনের মূল গণনাও এটিই। কোয়ান্টাম মেকানিক্স, তাপ বিস্তার, স্টার্লিং-এর আসন্নমান এবং central limit theorem-এ এই ইন্টেগ্রাল বারবার দেখা যায়।