রিমান জিটা ফাংশন ζ(s) = 1 + 1/2ˢ + 1/3ˢ + 1/4ˢ + ⋯। Euler বাস্তব মানের ক্ষেত্রে এটি অধ্যয়ন করে ζ(2) = π²/6 (বাসেল সমস্যা) এবং ζ(s) = ∏ 1/(1-p⁻ˢ) গুণনফল সূত্রটি আবিষ্কার করেন। Riemann 1859 সালে এটিকে জটিল সংখ্যায় প্রসারিত করেন।
নির্বাচিত পূর্ণসংখ্যায় জিটা ফাংশনের মানের সারণি
| s | ζ(s) | সঠিক রূপ |
|---|---|---|
| 2 | 1,64493… | π²/6 |
| 3 | 1,20206… | অজানা, আপেরি |
| 4 | 1,08232… | π⁴/90 |
| 6 | 1,01734… | π⁶/945 |
| -2,-4,… | 0 | তুচ্ছ শূন্য |
Riemann-এর প্রধান অন্তর্দৃষ্টি ছিল ζ(s)-কে জটিল s-এ প্রসারিত করা। এর অ-তুচ্ছ শূন্যগুলো (যেখানে ζ(s)=0 এবং 0 < Re(s) < 1) মৌলিক সংখ্যার বণ্টন নিয়ন্ত্রণ করে। প্রতিটি শূন্য prime-counting function-এ একটি দোলন যোগ করে। 1859 সালে Riemann অনুমান করেন যে সব অ-তুচ্ছ শূন্যই Re(s)=1/2 রেখায় অবস্থিত।
10 ট্রিলিয়নেরও বেশি অ-তুচ্ছ শূন্য Re(s) = 1/2 রেখায় রয়েছে বলে যাচাই করা হয়েছে। এখনো কোনো প্রতিপক্ষ উদাহরণ পাওয়া যায়নি। Clay Mathematics Institute একটি প্রমাণ (অথবা খণ্ডন)-এর জন্য 1 মিলিয়ন ডলার পুরস্কার ঘোষণা করেছে।
রিমান জিটা ফাংশন একটি সমমিতি মেনে চলে: zeta(s) = 2^s * pi^(s-1) * sin(pi*s/2) * Gamma(1-s) * zeta(1-s)। এই সমীকরণ ζ-কে s = 1 ব্যতীত সব জটিল সংখ্যায় প্রসারিত করে এবং s ও 1-s-এর মানকে পরস্পরের সঙ্গে যুক্ত করে।
রিমান জিটা ফাংশন ζ(s) = 1 + 1/2^s + 1/3^s + ...। Euler জোড় পূর্ণসংখ্যায় এর মান বের করেন: ζ(2)=π²/6, ζ(4)=π⁴/90। Riemann 1859 সালে একে জটিল s-এ প্রসারিত করে দেখান যে এর শূন্যগুলো মৌলিক সংখ্যার বণ্টনকে নিয়ন্ত্রণ করে। সব অ-তুচ্ছ শূন্য Re(s)=1/2 রেখায় আছে—এটাই রিমান অনুমান।